Эллипсоид инерции

Эллипсо́ид ине́рции — геометрическая фигура в виде поверхности второго порядка, которая характеризует тензор инерции твёрдого тела относительно его центра масс.

Тензор инерции и эллипсоид инерции

Основная статья: Тензор инерции

Момент инерции тела дается общей формулой:

$I = \int \mathbf r_{\bot}^2 \,dm$

Тензор инерции для твердого тела представляется в виде симметричной матрицы

$\begin{pmatrix} I_{xx} & I_{xy} & I_{xz} \\ I_{yx} & I_{yy} & I_{yz} \\ I_{zx} & I_{zy} & I_{zz} \end{pmatrix}$

в которой элементы являются моментами инерции относительно различных осей:

$I_{xx} = \int (y^2 + z^2)\, dm$ $I_{yy} = \int (x^2 + z^2)\, dm$ $I_{zz} = \int (x^2 + y^2)\, dm$

$I_{xy} = I_{yx} = - \int xy\, dm$ $I_{xz} = I_{zx} = - \int xz\, dm$ $I_{yz} = I_{zy} = - \int yz\, dm$

Матрица тензора инерции может быть представлена в диагональном виде, и тогда диагональные элементы $~I_{x}$, $~I_{y}$, $~I_{z}$ будут главными моментами инерции тела. Уравнение эллипсоида инерции тогда запишется как:

$~I_{x} x^2 + I_{y} y^2 + I_{z} z^2 = 1$

При этом координатные оси эллипсоида должны совпадать с главными осями тела.

Знание эллипсоида инерции позволяет найти момент инерции тела относительно любой оси, если только она проходит через центр эллипсоида. Для этого вдоль выбранной оси проводится радиус-вектор до пересечения с эллипсоидом инерции. Момент инерции тела относительно этой оси дается формулой:

$I = \frac{1}{r^2}$, где $~r$ - длина радиус-вектора.

Примеры эллипсоидов инерции

Прямоугольный параллелепипед

Пусть параллелепипед имеет размеры $~a, b, c$. Главные моменты инерции:

$I_x = \frac{m}{12} (b^2+c^2), \quad I_y=\frac{m}{12}(a^2+c^2), \quad I_z=\frac {m}{12} (a^2+b^2)$

Примерный вид эллипсоида инерции представлен на иллюстрации.

Для расчета эллипсоида инерции бесконечно длинного тонкого стержня один из размеров считается много больше остальных, и эллипсоид вырождается в цилиндрическую поверхность.

Литература

1. Сивухин Д.В. Общий курс физики. — 4-е изд. — М.: ФИЗМАТЛИТ; Изд-во МФТИ, 2005. — Т. 1. Механика. — С. 311. — 560 с. — ISBN 5-9221-0225-7
2. Лабораторный практикум по общей физике / А.Д.Гладун. — М.: МФТИ, 2004. — Т. 1. Механика. — С. 133. — 316 с. — ISBN 5-7417-0202-3
3. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. — 5-е изд. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2007. — Т. 1. Механика. — С. 131. — 224 с. — ISBN 978-5-9221-0819-5