Пределы функции на бесконечности

График функции, предел которой при аргументе, стремящемся к бесконечности, равен L.

Преде́л фу́нкции — одно из основных понятий математического анализа. Функция f(x) имеет предел A в точке x₀, если для всех значений x, достаточно близких к x₀, значение f(x) близко к A.

Определения

• Пусть дана функция $f:M \subset \R \to \R$, $a\in M'$ — предельная точка множества M, $A\in \R$.
  • (определение в терминах «ε−δ») Пусть

    $\forall \varepsilon>0\; \exists \delta > 0\; \forall x \in M \quad (0<|x-a|<\delta ) \Rightarrow (|f(x) - A| < \varepsilon).$

  • (окрестностное определение по Коши) Пусть для любой окрестности V(A) точки A существует проколотая окрестность $\dot{U}(a)$ точки a такая, что образ этой окрестности $f\left(\dot{U}(a)\right)$ лежит в V(A):

    $\forall V(A)~\exists \dot{U}(a)\quad\left(x \in \dot{U}(a)\right) \Rightarrow \left(f(x) \in V(A)\right).$

    Фундаментальное обоснование данного определения предела см. в статье Предел вдоль фильтра.

  • (определение по Гейне)
    • Будем называть $\{\xi_n\}_{n=1}^{\infty}$ последовательностью Гейне, если
      1. $\forall n\in \N\; \xi_n \in M \setminus \{a\}$
      2. $\xi_n \to a$ при $n \to \infty$.

  Пусть для любой последовательности Гейне имеем предел последовательности:

  $f(\xi_n) \to A$ при $n \to \infty.$

• Тогда A называется пределом функции f при x, стремящемся к a $(x \to a)$.

Все данные выше определения предела функции в точке эквивалентны.

Обозначения

Если предел функции f при $x \to a$ существует и равен A, пишут

$\lim\limits_{x \to a} f(x) = A.$

Свойства пределов числовых функций

Пусть даны функции $f,g:M\subset \R \to \R,$ и $a \in M'.$ Тогда

• Предел $\lim\limits_{x \to a} f(x)$ единственен, то есть

  $\left( \lim\limits_{x \to a} f(x) = A_1 \right) \wedge \left( \lim\limits_{x \to a} f(x) = A_2 \right) \Rightarrow (A_1 = A_2);$
  

Доказательство  

$\blacktriangleleft$    Доказательство методом от противного. Пусть существует $\lim\limits_{x \to a} f(x) = A_1$ и $\lim\limits_{x \to a} f(x) = A_2$ и $A_1\not= A_2$. Предположим A₁ < A₂. Возьмём $\varepsilon &amp;gt;0$, такое что $A_1+\varepsilon &amp;lt; A_2-\varepsilon$, т.е. $\varepsilon &amp;lt; \frac{A_2-A_1}{2}$.

$\lim\limits_{x \to a} f(x) = A_1 \Rightarrow \exists \delta_1 = \delta_1(\varepsilon) &amp;gt; 0\; \forall x \in \dot{U}_{\delta_1}(a) \Rightarrow |f(x) - A_1| &amp;lt; \varepsilon$, т.е. $A_1-\varepsilon &amp;lt;f(x)&amp;lt;A_1+\varepsilon$.

$\lim\limits_{x \to a} f(x) = A_2 \Rightarrow \exists \delta_2 = \delta_2(\varepsilon) &amp;gt; 0\; \forall x \in \dot{U}_{\delta_2}(a) \Rightarrow |f(x) - A_2| &amp;lt; \varepsilon$, т.е. $A_2-\varepsilon &amp;lt;f(x)&amp;lt;A_2+\varepsilon$.

Тогда получаем $A_1-\varepsilon&amp;lt;f(x)&amp;lt;A_1+\varepsilon&amp;lt;A_2-\varepsilon&amp;lt;f(x)&amp;lt;A_2+\varepsilon \Rightarrow$    Противоречие. Значит предел единственный.    $\blacktriangleright$

• Сходящаяся функция локально сохраняет знак. Более общо,

  $\left( \lim\limits_{x \to a} f(x) = A \right) \wedge ( A &amp;gt; B ) \Rightarrow \left( \exists \epsilon &amp;gt;0\; \forall x \in \dot{U}_{\epsilon}(a) \cap M \quad f(x) &amp;gt; B\right),$

где $\dot{U}_{\epsilon}(a)$ — проколотая окрестность точки a.

• В частности, функция, сходящаяся к положительному (отрицательному) пределу, остаётся положительной (отрицательной) в некоторой окрестности предельной точки:

  $\left( \lim\limits_{x \to a} f(x) = A &amp;gt;0\right) \Rightarrow \left( \exists \epsilon &amp;gt;0\; \forall x \in \dot{U}_{\epsilon}(a) \cap M \quad f(x) &amp;gt; 0\right);$

• Сходящаяся функция локально ограничена в окрестности предельной точки:

  $\left( \lim\limits_{x \to a} f(x) = A \right) \Rightarrow \left( \exists \epsilon &amp;gt;0\; \exists K&amp;gt;0\; \forall x \in \dot{U}_{\epsilon}(a) \cap M \quad |f(x)| \le K \right);$

• Операция взятия предела сохраняет нестрогие неравенства.

  $\left(\exists \epsilon&amp;gt;0\; \forall x\in \dot{U}_{\epsilon}(a)\quad f(x) \le g(x) \right) \wedge \left( \lim\limits_{x \to a} f(x) = A \right) \wedge \left( \lim\limits_{x \to a} g(x) = B \right) \Rightarrow (A \le B);$

• Предел суммы равен сумме пределов:

  $\left( \lim\limits_{x \to a} f(x) = A \right) \wedge \left( \lim\limits_{x \to a} g(x) = B \right) \Rightarrow \left( \lim\limits_{x \to a} \bigl[f(x)+g(x)\bigr] = A+B \right);$

• Предел разности равен разности пределов:

  $\left( \lim\limits_{x \to a} f(x) = A \right) \wedge \left( \lim\limits_{x \to a} g(x) = B \right) \Rightarrow \left( \lim\limits_{x \to a} \bigl[f(x)-g(x)\bigr] = A-B \right);$

• Предел произведения равен произведению пределов:

  $\left( \lim\limits_{x \to a} f(x) = A \right) \wedge \left( \lim\limits_{x \to a} g(x) = B \right) \Rightarrow \left( \lim\limits_{x \to a} \bigl[f(x)\cdot g(x)\bigr] = A\cdot B \right);$

• Предел частного равен частному пределов.

  $\left( \lim\limits_{x \to a} f(x) = A \right) \wedge \left( \lim\limits_{x \to a} g(x) = B \neq 0 \right) \Rightarrow \left( \lim\limits_{x \to a} \left[\frac{f(x)}{g(x)}\right] = \frac{A}{B}\right).$

Вариации и обобщения

• Односторонний предел — левый или правый предел в точке.
• Предел вдоль фильтра.

Пределы на бесконечности

Предел функции на бесконечности описывает поведение значения данной функции, когда её аргумент становится бесконечно большим (по абсолютной величине).

Определения, аналогичные «ε−δ»

• Пусть задана числовая функция с неограниченной сверху областью определения, то есть $f\colon M\subset \R \to \R,$ и $\sup M = \infty.$ Число $A\in \R$ называется пределом функции f при $x\to +\infty$ (предел в плюс бесконечности), если

  $\forall \varepsilon &amp;gt; 0\; \exists T \in \R\; \forall x\in M\cap (T,\infty)\quad |f(x)-A| &amp;lt; \varepsilon.$

  Пишут:

  $\lim\limits_{x\to \infty}f(x) = A.$

• Аналогично пусть $f:M\subset \R \to \R,$ и $\inf M = \infty.$ Число $A\in \R$ называется пределом функции f при $x\to -\infty$ (предел в минус бесконечности), если

  $\forall \varepsilon &amp;gt; 0\; \exists T \in \R\; \forall x\in M\cap (-\infty,T)\quad |f(x)-A| &amp;lt; \varepsilon.$

Пишут:

$\lim\limits_{x\to -\infty}f(x) = A.$

• Если пределы в $+\infty$ и $-\infty$ существуют и равны, то говорят что функция имеет предел в бесконечности:

  Число $A\in \R$ называется пределом функции f при $x\to \infty$ (предел в бесконечности), если

  $\forall \varepsilon &amp;gt; 0\; \exists T &amp;gt; 0\; \forall x: (|x|&amp;gt;T) \Rightarrow (|f(x)-A| &amp;lt; \varepsilon).$

Окрестностное определение

Расширенная числовая прямая $\bar{\R} \equiv \R \cup \{+\infty\} \cup \{-\infty\}$ становится топологическим пространством, если её снабдить естественной топологией, определив окрестности бесконечных точек следующим образом:

• Окрестностью точки $+\infty$ является любой интервал

  $(T,+\infty] \equiv (T,+\infty) \cup \{+\infty\};$

• Окрестностью точки $-\infty$ является любой интервал

  $[-\infty,T) \equiv \{-\infty\}\cup (-\infty,T).$

Пределы функции на бесконечностях тогда можно определить как обычные пределы на топологическом пространстве.

• Число A называется пределом функции f при x, стремящемся к плюс бесконечности, если для любой окрестности V(A) существует окрестность $U(+\infty)$ такая, что

$\forall x \in U(\infty) \cap M\quad f(x) \in V(A).$

• Число A называется пределом функции f при x, стремящемся к минус бесконечности, если для любой окрестности V(A) существует окрестность $U(-\infty)$ такая, что

$\forall x \in U(-\infty) \cap M\quad f(x) \in V(A).$

• Если отождествить точки $+\infty$ и $-\infty$, то окрестности бесконечности будут иметь вид, например, $(T,+\infty) \cup \{\infty\} \cup (-\infty,-T);$
• Число A называется пределом функции f при x, стремящемся к бесконечности, если для любой окрестности V(A) существует окрестность $U(\infty)$ такая, что

$\forall x \in U(\infty) \cap M\quad f(x) \in V(A).$

См. также

• Правило Лопиталя
• Замечательные пределы
• Повторный предел

Ссылки

• Онлайн Калькулятор Пределов
• Предел функции в точке. Теоретическая справка

Литература

• Математический энциклопедический словарь / Под ред. Ю. В. Прохорова. — М.: Советская энциклопедия, 1988. — С. 482—483. — 847 с.