Дробная производная

Эта статья или раздел нуждается в переработке. Пожалуйста, улучшите статью в соответствии с правилами написания статей.

Дробная производная (или производная дробного порядка) является обобщением математического понятия производной. Существует несколько разных способов обобщить это понятие, но все они совпадают с понятием обычной производной в случае натурального порядка. Когда рассматриваются не только дробные, но и отрицательные порядки производной, к такой производной обычно применяется термин дифферинтеграл.

Дробные производные на отрезке вещественной оси

Для функции $\,f(x)$, заданной на отрезке $[a,\, b]$, каждое из выражений

$\,D^\alpha_{a+} \, f(x)= \frac{1}{\Gamma(1-\alpha)} \frac {d}{dx} \int \limits_a^x \frac{f(t)\, dt}{(x-t)^\alpha}, \quad \,D^\alpha_{b-} \, f(x)= - \frac{1}{\Gamma(1-\alpha)} \frac {d}{dx} \int \limits_x^b \frac{f(t)\, dt}{(t-x)^\alpha},$

называется дробной производной порядка $\, \alpha$, $\, 0 < \alpha < 1$, соответственно левосторонней и правосторонней. Дробные производные в приведенном виде называют обычно производными Римана — Лиувилля.

Определение через интеграл Коши

Дробная производная порядка $p$ ($p$ — действительное положительное число) определяется через интеграл Коши: $D_C^pf(t)=\frac1{\Gamma(p)}\!\int\limits_C\frac{f(u)}{(t-u)^{p+1}}\,du$, где интегрирование ведется по выбранному заранее контуру $C$ на комплексной плоскости. Непосредственное применение этой формулы затруднено из-за ветвления функции при дробном показателе степени в знаменателе.

Определение через преобразование Фурье

Основано на следующем свойстве интегрального преобразования Фурье

$F(f') = i\omega F(f).\$

Определение через общую формулу n-й производной

В случае, если есть общее аналитическое выражение для производной n-го порядка, понятие дробной производной может быть введено естественным образом путём обобщения данного выражения (когда это возможно) на случай произвольного числа n.

Пример 1: дифференцирование многочленов

Пусть $f(x)$ есть моном вида

$f(x) = x^k\,.$

Первая производная, как и обычно

$f'(x) = {d \over dx } f(x) = k x^{k-1}\,.$

Повторение данной процедуры даёт более общий результат

${d^n \over dx^n } x^k = { k! \over (k - n) ! } x^{k-n}\,,$

который после замены факториалов гамма-функциями приводит к

${d^n \over dx^n } x^k = { \Gamma(k+1) \over \Gamma(k - n + 1) } x^{k-n}\,.$

Поэтому, например, половинная производная функции x есть

${ d^{1 \over 2} \over dx^{1 \over 2} } x = { \Gamma(1 + 1) \over \Gamma ( 1 - {1 \over 2} + 1 ) } x^{1-{1 \over 2}} = { \Gamma( 2 ) \over \Gamma ( { 3 \over 2 } ) } x^{1 \over 2} = {2 \pi^{-{1 \over 2}}} x^{1 \over 2}\; = \frac{2\,x^{1 \over 2}}{\sqrt{\pi}}\,.$

Повторяя процедуру, будем иметь

${ d^{1 \over 2} \over dx^{1 \over 2} } {2 \pi^{-{1 \over 2}}} x^{1 \over 2} = {2 \pi^{-{1 \over 2}}} { \Gamma ( 1 + {1 \over 2} ) \over \Gamma ( {1 \over 2} - { 1 \over 2 } + 1 ) } x^{{1 \over 2} - {1 \over 2}} = {2 \pi^{-{1 \over 2}}} { \Gamma( { 3 \over 2 } ) \over \Gamma ( 1 ) } x^0 = { 1 \over \Gamma (1) } = 1\,,$

что представляет собой ожидаемый результат

$\left( \frac{d^{1/2}}{dx^{1/2}} \frac{d^{1/2}}{dx^{1/2}} \right) x = { d \over dx } x = 1 \,.$

Таким образом можно ввести дробные производные произвольного положительного порядка от многочлена. Определение также естественно обобщается на аналитические функции. Рассматривая $\Gamma$ как мероморфную функцию комплексного переменного, можно обобщить определение на случай произвольного порядка дифференцирования. При этом

${\left( {d\over dx} \right)}^a {\left( {d\over dx} \right)}^b = {\left( {d\over dx} \right)}^{a+b}$

на всех $x^k$, таких что $k-a$, $k-b$ и $k-a-b$ не являются целыми отрицательными числами.

Следует заметить, что производная имеет место при целых отрицательных n, однако такая производная отличается от понятия первообразной n-го порядка, поскольку первообразная определена неоднозначно, в то время как производная в рассмотренном смысле совпадает лишь с одной из первообразных.

Пример 2: дифференцирование тригонометрических функций

Пусть

$f(x) = \sin (ax+b)\,.$

Поскольку для любых a и b

${d^n \over dx^n } \sin (ax+b) = a^n \sin \left(ax+b+{\pi n \over 2} \right)\,,$

то, полагая $n=1/2$,

${{d^{1/2}} \over {dx^{1/2}}} \sin (ax+b) = \sqrt{a} \, \sin \left(ax+b+{\pi \over 4} \right)\,.$

Действительно,

${{d^{1/2}} \over {dx^{1/2}}} \left( {{d^{1/2}} \over {dx^{1/2}}} \sin (ax+b) \right) = \sqrt{a} \; \sqrt{a} \, \sin \left(ax+b+{\pi \over 4}+{\pi \over 4} \right) = a \, \cos (ax+b) = f'(x)\,.$

В рассмотренном примере понятие производной обобщается на случай любого действительного и даже комплексного порядка. Так, при $n=-1$ формула n-й производной даёт одну из первообразных функции $f(x)$.

Свойства

Основные свойства производной нецелого порядка:

• Линейность

$D^{q}_t(f(t)+g(t))= D^{q}_t(f(t))+ D^{q}_t(g(t))$

$D^{q}(ax)=a D^{q}(x)$

• Правило нуля

$D^{0}x=x$

• Дробная производная произведения

$D^q_t(f(t)g(t))=\sum_{j=0}^{\infty} {q \choose j} D^j_t(f(t)) D^{q-j}_t(g(t))$

• Полугрупповое свойство

$D^a D^{b} f(t) = D^{a+b} f(t)$

в общем случае не выполняется ^[1].

Примечания

1. ↑ см. Свойство 2.4 (стр. 75) в книге A.A. Kilbas, H.M. Srivastava, J.J. Trujillo, Theory and Applications of Fractional Differential Equations. (Elsevier, 2006)

См. также

• Дифферинтеграл
• Дробная динамика
• Наследственная механика

Литература

• Риман Б. «Опыт обобщения действий интегрирования и дифференцирования» в Бернгард Риман Сочинения. пер с нем. Под ред. Гончарова В. Л., М.-Л.: ГИТТЛ, 1948. 544 с. C. 262—275.

• Самко С. Г., Килбас А. А., Маричев О. И. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения. — Минск: Наука и техника, 1987. — 688 с.
• Псху А. В. Уравнения в частных производных дробного порядка. — Москва: Наука, 2005. — 199 с.
• Нахушев А. М. Дробное исчисление и его применение. — Москва: ФИЗМАТЛИТ, 2003. — 272 с. — 5-9 221-0 440-3 экз.
• Учайкин В. В. Метод дробных производных. — Ульяновск: Артишок, 2008. — 512 с. — 400 экз. — ISBN 978-5-904198-01-5
• Тарасов В. Е. Модели теоретической физики с интегро-дифференцированием дробного порядка. — Москва, Ижевск: РХД, 2010. — 568 с.
• В. В. Васильев, Л. А. Симак, Дробное исчисление и аппроксимационные методы в моделировании динамических систем. Киев, НАН Украины, 2008. — 256 с. ISBN 978-966-02-4384-2

• Fractional Calculus. An Introduction for Physicists, by Richard Herrmann. Hardcover. Publisher: World Scientific, Singapore; (February 2011) ISBN 978-981-4340-24-3 (http://www.worldscientific.com/worldscibooks/10.1142/8072)
• A.A. Kilbas, H.M. Srivastava, J.J. Trujillo, Theory and Applications of Fractional Differential Equations. (Elsevier, Amsterdam, 2006).
• S.G. Samko, A.A. Kilbas, O.I. Marichev, Fractional Integrals and Derivatives Theory and Аpplications. (Gordon and Breach, New York, 1993).
• K. Miller, B. Ross, An Introduction to the Fractional Calculus and Fractional Differential Equations. (Wiley, New York, 1993).
• I. Podlubny, Fractional Differential Equations. (Academic Press, San Diego, 1999).
• A.A. Kilbas, H.M. Srivastava, J.J. Trujillo, Theory and Application of Fractional Differential Equations. (Elsevier, Amsterdam, 2006).
• B. Ross, «A brief history and exposition of the fundamental theory of fractional calculus» Lect. Notes Math. Vol.457. (1975) 1-36.

Ссылки

• журнал: «Fractional Calculus & Applied Analysis», An International Journal for Theory and Applications, ISSN 1311-0454.  (англ.)
• журнал: Fractional Differential Equations (FDE)
• журнал: Communications in Fractional Calculus (ISSN 2218-3892)
• Applications of Fractional Calculus  (англ.)
• Fractional Calculus, the Riemann-Liouville definition of the fractional integral, a definition of fractional derivatives, and a list of applications of the calculus.  (англ.)
• Fractional Calculus  (англ.)
• Fractional Calculus — Contains introductory notes on fractional calculus  (англ.)
• Weisstein, Eric W. Fractional Calculus (англ.) на сайте Wolfram MathWorld..
• Интегралы и производные дробного порядка и их приложения. С. Г. Самко, А. А. Килбас, О. И. Маричев, Минск, 1987