ДРОБНОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ И ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ это:

ДРОБНОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ И ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ

- распространение операций интегрирования и дифференцирования на случай дробных порядков. Пусть j(x)интегрируема на отрезке [ а, b],- интеграл от f по [ а, х], а - интеграл от Iaa-1.f(x)по [ а, х], а=2,3, ... . Имеет место соотношение

где Г(a)= (a-1)! - гамма-функция. Правая часть в (1) имеет смысл при всех a>0. Соотношение (1) определяет дробный интеграл (или интеграл Римана - Лиувилля) порядка а от f с началом в точке а. Оператор Iaz при комплексных значениях параметра z изучался Б. Риманом (В. Riemann, 1847). Оператор Iaa линеен и обладает полугрупповым свойством:

Операция, обратная дробному интегрированию, носит название дробного дифференцирования: если Iaf=F, то f есть дробная производная порядка aот F. При 0<a<1 имеет место формула Маршо:

Понятие Д. и. и д. впервые ввел Ж. Лиувилль (J. Liouville, 1832), в частности он рассмотрел оператор a>0:

(при соответствующих ограничениях на функцию f; см. [1], где приведены также оценки оператора Ia в Lp).

Для интегрируемой 2p-периодической функции f(x)с нулевым средним значением по периоду удобно (см. [2]) определение, предложенное Г. Вейлем (Н. Weyl, 1917): если

то интеграл Вейля fa (х)порядка a>0 функции f определяется формулой

производная fb порядка b>0 определяется при этом равенством

где п- наименьшее целое, большее [5] отметим, что fa(x). совпадает с Iaf(x)).

Перечисленные определения получили дальнейшее развитие в рамках теории обобщенных функций. Для периодических обобщенных функций

операция дробного интегрирования Iaf=fa выполнима по формуле (2) для любых действительных а(при отрицательных aIafсовпадает с дробной производной порядка а) и обладает групповым свойством по параметру a.

В n-мерном пространстве Xаналогом оператора дробного интегрирования является риссов потенциал (или интеграл типа потенциала)

Обратная к Ra операция наз. риссовой производной порядка а.

Лит.:[1] Хард и Г. Г., Литтльвуд Д. Е., Полна Г., Неравенства, пер. с англ., М., 1948; [2] Зигмунд А., Тригонометрические ряды, пер. с англ., т. 1, М., 1965; [3] Xилле Э., Филлипс Р., Функциональный анализ и полугруппы, пер. с англ., 2 изд.', М., 1962; [4] Джрбашян М. М., Интегральные преобразования и представления функций в комплексной области, М., 1966.

П. И. Лизоркин.


Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. . 1977—1985.

Смотреть что такое "ДРОБНОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ И ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ" в других словарях:

  • ВЛОЖЕНИЯ ТЕОРЕМЫ — теоремы, относящиеся к циклу вопросов, посвященных изучению неравенств между нормами одной и той же функции, принадлежащей к разным классам (нормированным пространствам). Обычно речь идет о двух классах и , где есть часть и при этом выполняется… …   Математическая энциклопедия

  • ФАВАРА ЗАДАЧА — задача, состоящая в вычислении точной верхней грани где tn(x) тригонометрич. полиномы порядка не выше п, WrMX класс периодич. функций, у к рых r я производная в смысле Вейля (см. Дробное интегрирование и дифференцирование )удовлетворяет… …   Математическая энциклопедия

  • Дробная производная — Эта статья или раздел нуждается в переработке. Пожалуйста, улучшите статью в соответствии с правилами написания статей. Дробная про …   Википедия

  • Дифферинтеграл Римана-Лиувилля — В математике, дифферинтеграл Римана Лиувилля отображает вещественную функцию ƒ : R → R в другую функцию Iαƒ того же типа для каждого значения параметра α > 0. Данный дифферинтеграл является обобщением повторной… …   Википедия

  • Дифферинтеграл Римана — В математике, дифферинтеграл Римана  Лиувилля отображает вещественную функцию в другую функцию того же типа для каждого значения параметра . Данный дифферинтеграл является обобщением повторной первообразной от в том смысле, что для целых… …   Википедия

  • Дробный анализ — Понятие дробной производной является обобщением математического понятия производная. Существует несколько разных способов обобщить это понятие, но все они совпадают с понятием обычной производной в случае целого положительного порядка. Содержание …   Википедия

  • Производная (обобщения) — У этого термина существуют и другие значения, см. Производная. В математике существует много различных обобщений понятия производной, так как она является базовой конструкцией дифференциального исчисления. Содержание 1 Односторонние производные …   Википедия

  • Односторонняя производная — В математике существует много различных обобщений понятия производной, так как она является базовой конструкцией дифференциального исчисления. Содержание 1 Односторонние производные 2 Анализ функций нескольких переменных …   Википедия

  • Производная (обобщение) — В математике существует много различных обобщений понятия производной, так как она является базовой конструкцией дифференциального исчисления. Содержание 1 Односторонние производные 2 Анализ функций нескольких переменных …   Википедия


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»