Кубический корень

График функции y = $\sqrt[3]{x}$

Куби́ческий (куби́чный) ко́рень из a — решение уравнения $x^3 = a$ (обычно подразумеваются вещественные решения). Операция извлечения кубического корня эквивалентна операции возведения числа в степень, при условии, что число неотрицательно. $\frac{1}{3}$^{[источник не указан 107 дней]}.

Свойства

Кубический корень — нечётная функция. В отличие от квадратного корня, кубический может быть извлечён и из отрицательных чисел:

$\sqrt[3]{-x} = -\sqrt[3]{x}$

Общее правило — из отрицательных чисел корни нечётной степени (в том числе и кубический) извлекаются, корни чётной степени — нет. Данное утверждение справедливо только для диапазона вещественных чисел.

Кубический корень из комплексного числа (из любого числа) $c$ имеет ровно три значения (частный случай свойства корня n-ой степени):

$\sqrt[3]{c} = \sqrt[3]{\left|c\right|} \left( \cos{\frac{\phi + 2k\pi}{3}} + i \sin{\frac{\phi + 2k\pi}{3}} \right), \quad k = 0, 1, 2, \quad \phi = \arg {c}.$

Здесь под $\sqrt[3]{\left|c\right|}$ понимается арифметический корень из положительного числа $\left|c\right|.$

В частности

$\sqrt[3]{1} = \begin{cases} 1 \\ \cos{\frac{2\pi}{3}} + i \sin{\frac{2\pi}{3}} = - \frac{1}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2} \\ \cos{\frac{2\pi}{3}} - i \sin{\frac{2\pi}{3}} = - \frac{1}{2} - i \frac{\sqrt{3}}{2} \end{cases}$

$\sqrt[3]{-1} = \begin{cases} -1 \\ \cos{\frac{\pi}{3}} + i \sin{\frac{\pi}{3}} = \frac{1}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2} \\ \cos{\frac{\pi}{3}} - i \sin{\frac{\pi}{3}} = \frac{1}{2} - i \frac{\sqrt{3}}{2} \end{cases}$

Два комплексных значения кубического корня получаются из вещественных по формуле:

$\sqrt[3]{x}_{2,3} = \sqrt[3]{x}\left( -\frac{1}{2} \pm i \frac{\sqrt{3}}{2}\right).$

Эти значения необходимо знать для решения кубических уравнений по формуле Кардано.

Интересные факты

Кубический корень не может быть извлечён с помощью циркуля и линейки. Именно поэтому неразрешимы сводимые к извлечению кубического корня классические задачи: удвоение куба, трисекция угла, а также построение правильного семиугольника.

При постоянной плотности вещества размеры двух подобных тел относятся друг к другу как кубические корни их масс. Так, если один арбуз весит вдвое больше, чем другой, то его диаметр (а также окружность) будет всего лишь чуть больше, чем на четверть (на 26%) больше, чем у первого; и на глаз будет казаться, что разница в весе не столь существенна. Поэтому при отсутствии весов (продажа на глазок) обычно более выгодно покупать бо́льший плод.

См. также

• Арифметический корень
• Квадратный корень

Литература

• Корн Г., Корн Т. 1.3-3. Представление суммы, произведения и частного. Степени и корни // Справочник по математике. — 4-е издание. — М.: Наука, 1978. — С. 32—33.