Периодическая функция

Графики синуса и косинуса — периодических функций с периодом $T = 2\pi$.

Периоди́ческая фу́нкция ― функция, повторяющая свои значения через какой-то регулярный интервал, то есть не меняющая своего значения при добавлении к аргументу фиксированного ненулевого числа (пери́ода функции).

Говоря более формально, функция периодична, если существует такое число T≠0 (период), что на всей области определения функции выполняется равенство $f(x)=f(x+T)$.

Все тригонометрические функции являются периодическими.

Формальное определение

Пусть $M$ есть абелева группа (обычно предполагается $M=(\R,+)$ — вещественные числа с операцией сложения или $(\mathbb C,+)$ — комплексные числа). Функция $f: M \to N$ (где $N$ — произвольное множество её значений) называется периодической с периодом $T \not= 0$ , если справедливо

$f(x+T) = f(x), \quad \forall x \in M$.

Если это равенство не выполнено ни для какого $T \in M,\, T \not=0$ , то функция $f$ называется апериоди́ческой.

Если для функции $f: \mathbb C \to N$ существуют два периода $T_1, T_2\not= 0$, отношение которых не равно вещественному числу, то есть $\frac{T_1}{T_2} \not\in \mathbb{R}$, то $f$ называется двоякопериоди́ческой фу́нкцией. В этом случае значения $f$ на всей плоскости определяются значениями в параллелограмме, натянутом на $T_1, T_2$.

Замечание

Период функции определён неоднозначно. В частности, если $T$ — период, то и любой элемент $T'$ вида $T' = \underbrace{T+\cdots+T}_n$ (или $T' = n T$, если в области определения функции определена операция умножения), где $n \in \mathbb{N}$ — произвольное натуральное число, также является периодом.

Множество всех периодов функции образует аддитивную группу.

Однако если у множества периодов $\{T, T>0, T\in\mathbb{R}\}$ имеется наименьшее значение, то оно называется основным (или главным) периодом функции.

Примеры

• Вещественные функции синус и косинус являются периодическими с основным периодом $2\pi$ , так как

$\sin( x + 2\pi) = \sin x,\; \cos( x + 2\pi) = \cos x,\quad \forall x \in \mathbb{R}.$

• Функция, равная константе $f(x) = \mathrm{const}$, является периодической, и любое ненулевое число является её периодом. Основного периода функция не имеет.

• Функция Дирихле является периодической, её периодом является любое ненулевое рациональное число. Основного периода она также не имеет.

• Функция $f(x) = x^2,\; x \in \mathbb{R}$ является апериодической.

Некоторые особенности периодических функций

• Сумма двух функций с соизмеримыми периодами $T_1$ и $T_2$ не всегда является функцией с основным периодом, равным наименьшему общему кратному $T_1$ и $T_2$ (однако просто периодом это число будет являться). Например, у функции $f(x)=\sin(2x)-\sin(3x)$ основной период равен $2\pi$, у функции $g(x)=\sin(3x)$ — $2\pi/3$, а у их суммы $f(x)+g(x)=\sin(2x)$ основной период, очевидно, равен $\pi$.

• Сумма двух функций с несоизмеримыми периодами не всегда является непериодической функцией. Например, функция $f(x)$ из предыдущего примера и функция $g(x)=-f(x)$ имеют несоизмеримые периоды, но их сумма равна константе, а значит, является периодической функцией.

• Существуют периодические функции, не равные константе, у которой периодами являются несоизмеримые числа. Например, у функции $f(x)$, принимающей значения 1 при алгебраическом x и 0 в остальных случаях, любое алгебраическое число является периодом, а среди алгебраических чисел есть и несоизмеримые.

См. также

• Квазипериодическая функция

Ссылки

• Периодическая функция (Большая советская энциклопедия)