Центрированное квадратное число

Центрированное квадратное число – это центрированное полигональное число, которое представляет квадрат с точкой в центре и все остальные окружающие точки находятся на квадратных слоях.

Таким образом, каждое центрированное квадратное число равно числу точек внутри данного расстояния в кварталах от центральной точки на квадратной решетке. Центрированные квадратные числа, как и фигурные числа, имеют мало практических приложений, если вообще имеют, но они изучаются в занимательной математике за элегантные геометрические и арифметические свойства.

Фигуры для первых четырех центрированных квадратных чисел показаны ниже:

$C_{4,1} = 1$		$C_{4,2} = 5$		$C_{4,3} = 13$		$C_{4,4} = 25$

Связь с другими фигурными числами

n-ое центрированное квадратное число задается формулой

$C_{4,n} = n^2 + (n - 1)^2.\,$

Другими словами, центрированное квадратное число – это сумма двух последовательных квадратов. Следуещие диаграммы демонстрируют формулу:

$C_{4,1} = 1$		$C_{4,2} = 1 + 4$		$C_{4,3} = 4 + 9$		$C_{4,4} = 9 + 16$

Формулу можно представить следующим образом

$C_{4,n} = {(2n-1)^2 + 1 \over 2};$

таким образом, n-ое центрированное квадратное число равно половине n-ого нечетного квадрата + 1, что иллюстрируется ниже:

$C_{4,1} = (1 + 1) / 2$		$C_{4,2} = (9 + 1) / 2$		$C_{4,3} = (25 + 1) / 2$		$C_{4,4} = (49 + 1) / 2$

Как и другие центрированные полигональные числа, центрированные квадратные числа могут быть выражены в терминах треугольных чисел:

$C_{4,n} = 1 + 4\, T_{n-1},\,$

где

$T_n = {n(n + 1) \over 2} = {n^2 + n \over 2} = {n+1 \choose 2}$

есть n-ое треугольное число. Это легко увидеть, если просто удалить центральную точку и разделить оставшиеся на четыре треугольника, как ниже:

$C_{4,1} = 1$		$C_{4,2} = 1 + 4 \times 1$		$C_{4,3} = 1 + 4 \times 3$		$C_{4,4} = 1 + 4 \times 6.$

Разность между двумя последовательными восьмиугольными числами есть центрированное квадратное число (Conway and Guy, p.50).

Свойства

Первые несколько центрированных квадратных чисел:

1, 5, 13, 25, 41, 61, 85, 113, 145, 181, 221, 265, 313, 365, 421, 481, 545, 613, 685, 761, 841, 925, 1013, 1105, 1201, 1301, 1405, 1513, 1625, 1741, 1861, 1985, 2113, 2245, 2381, 2521, 2665, 2813, 2965, 3121, 3281, 3445, 3613, 3785, 3961, 4141, 4325, … последовательность A001844 в OEIS.

Все центрированные квадратные числа нечетны, и последняя цифра в десятичном представлении дает последовательность 1-5-3-5-1.

Все центрированные квадратные числа и их делители дают остаток 1 при делении на 4. Отсюда Все центрированные квадратные числа и их делители сравнимы с 1 или 5 по модулю 6,8 или 12.

Все центрированные квадратные числа за исключением 1 есть гипотенуза в одном из пифагоровой тройке (например, 3-4-5, 5-12-13).

Центрированные квадратные простые

Центрированные квадратные простые – это центрированные квадратные числа, являющиеся также простыми. В отличие от обычных квадратных чисел, которые никогда не являются простыми, несколько центрированных квадратных чисел просты.

Несколько первых центрированных квадратных простых:

5, 13, 41, 61, 113, 181, 313, 421, 613, 761, 1013, 1201, 1301, 1741, 1861, 2113, 2381, 2521, 3121, 3613, … последовательность A027862 в OEIS. Замечательный пример можно увидеть в магическом квадрате 10-го столетия ал-Антаакии.

Внешние ссылки

• (n^2 + 1) / 2 as a special case of M(i,j) = (i^2 + j) / 2

References

• Alfred, U. (1962), "«n and n + 1 consecutive integers with equal sums of squares»", Mathematics Magazine Т. 35 (3): 155–164 .

• Beiler, A. H. (1964), «Recreations in the Theory of Numbers», New York: Dover, с. 125 .
• Conway, John H. & Guy, Richard K. (1996), «The Book of Numbers», New York: Copernicus, сс. 41–42, ISBN 0-387-97993-X .

Связать^?