Функция Радемахера

Графики функций Радемахера с $\nu=0,1,2$

Функция Радемахера — кусочно-постоянная периодическая функция, принимающая только два значения 1 и −1 на всей области определения. Введены Гансом Радемахером в 1922 году.^[1] График функции предсталяет собой меандр.

Функция Радемахера может быть выражена следущим образом:

$\operatorname{rad}_\nu(x)=\operatorname{sign}\left(\sin\left(2^{\nu+1}\pi x\right)\right)$

Система функций Радемахера является ортонормированной в пространстве $L^2[0,l]$, поскольку:

$\int_0^1 \operatorname{rad}_n(x)\cdot\operatorname{rad}_m(x) \mathrm{d} x = \delta_{mn}$,

где $\delta_{mn}$ — символ Кронекера.

Система функций Радемахера является неполной. На их основе можно построить функции Уолша:

$\operatorname{wal}_\nu(x)=\operatorname{rad}_{\operatorname{lb}\nu}(x)$,

где $\operatorname{lb}\nu=\log_2\nu$ — двоичный логарифм.

Функцию Радемахера можно задать через функцию Хаара $\psi(x)$:

$\operatorname{rad}_\nu(x)=\sum_{k=-\infty}^\infty\psi(2^\nu x+k)$

Примечания

1. ↑ H. Rademacher Einige Sätze über Reihen von allgemeinen Orthogonalfunktionen (нем.) // Math. Ann.. — 1922. — Т. 87. — № 1-2. — С. 112–138.

Ссылки

• Square Wave в WolframMathWorld
• Rademacher system — статья из Encyclopedia of mathematics

Связать^?

На эту статью не ссылаются другие статьи Википедии. Пожалуйста, воспользуйтесь подсказкой и установите ссылки в соответствии с принятыми рекомендациями.