Функция Ляпунова

Стиль этой статьи неэнциклопедичен или нарушает нормы русского языка. Статью следует исправить согласно стилистическим правилам Википедии.

В теории обыкновенных дифференциальных уравнений, функция Ляпунова является скалярной функцией, которая может быть использована как доказательство устойчивости равновесия уравнения. Названа в честь русского математика Александра Ляпунова . Функции Ляпунова имеют важное значение для теории устойчивости и теории управления . Аналогичная концепция появляется в общей теории пространства состояний цепей Маркова, как правило, под названием функция Ляпунова-Фостера.

Для многих классов обыкновенных дифференциальных уравнений, существование функций Ляпунова является необходимым и достаточным условием для стабильности. Хотя нет общей методики построения функций Ляпунова для обыкновенных дифференциальных уравнений, во многих конкретных случаях, конструкция функций Ляпунова известна. Например, квадратичной функции достаточно для систем с одной переменной, решение определенного линейного матричного неравенства обеспечивает функцию Ляпунова для линейных систем. Законы сохранения могут быть использованы для построения функций Ляпунова для физической системы.

Неформально, функция Ляпунова - это функция, которая принимает положительные значения всюду, за исключением точки равновесия, и уменьшается (или не растет) вдоль каждой траектории обыкновенного дифференциального уравнения. Основное преимущество метода анализа устойчивости систем обыкновенных дифференциальных уравнений на основе функций Ляпунова заключается в том, что решение системы уравнений (аналитическое или численное) не нужно.

Определение кандидата функции Ляпунова

Пусть

$V:\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$

Непрерывная скалярная функция $V$ называется кандидатом функции Ляпунова если локально является положительно определённой функцией , т.е.

$V(0) = 0 \,$

$V(x) > 0 \quad \forall x \in U\setminus\{0\}$

где $U$ окрестность $x = 0$

Точка равновесия

Пусть

$g : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n$

$\dot{y} = g(y) \,$

будет произвольной автономной динамической системой с точкой равновесия $y^* \,$:

$0 = g(y^*) \,$

Всегда существует преобразование координат $x = y - y^* \,$, такое что:

$\dot{x} = g(x + y^*) = f(x) \,$

$f(0) = 0 \,$

Тогда новая система $f(x)$ имеет точку равновесия в начале координат.

Теоремы Ляпунова для автономных систем

Пусть

$x^* = 0 \,$

является точкой равновесия ситемы автономных дифференциальных уравнений

$\dot{x} = f(x) \,$

И пусть

$\dot{V}(x) = \frac{\partial V}{\partial x}\cdot \frac{dx}{dt} = \nabla V \cdot \dot{x} = \nabla V\cdot f(x)$

будет производная по времени кандидата на функцию Ляпунова $V$.

Устойчивость точки равновесия

Если кандидат-функция Ляпунова $V$ является локально положительной и производная по времени является локально неположительной:

$\dot{V}(x) \leq 0 \quad \forall x \in \mathcal{B}\setminus\{0\}$

в некоторой окрестности $\mathcal{B}$ точки $0$, тогда точка равновесия является устойчивой.

Локальная асимптотическая устойчивость

Если кандидат-функция Ляпунова $V$ является локально положительной и производная по времени локально является отрицательной:

$\dot{V}(x) < 0 \quad \forall x \in \mathcal{B}\setminus\{0\}$

в некоторой окрестности $\mathcal{B}$ точки $0$, тогда точка равновесия является локально асимптотически устойчивой .

Глобальная асимптотическая устойчивость

Если кандидат-функция Ляпунова $V$ является глобально положительной, радиально неограниченной и производная по времени является глобально отрицательной:

$\dot{V}(x) < 0 \quad \forall x \in \mathbb{R}^n\setminus\{0\},$

тогда точка равновесия глобально асимптотически устойчива.

Кандидат-функция Ляпунова $V(x)$ является радиально неограниченной если

$\| x \| \to \infty \Rightarrow V(x) \to \infty$.

Пример

Рассмотрим следующее дифференциальное уравнение с решением x на $\mathbb{R}$:

$\dot x = -x.$

Принимая во внимание функция | x | есть всегда неотрицательна в окрестности начала координат, то она будет естественным выбором кандидат-функции Ляпунова для изучения поведения x. Итак, пусть $V(x)=|x|$ на $\mathbb{R}\setminus\{0\}$. Тогда,

$\dot V(x) = V'(x) f(x) = \mathrm{sign}(x)\cdot (-x) = -|x|<0.$

Это показывает что точка равновесия дифиренциального уравнение является асимптотически стабильной в окрестности начала координат.

Примечания

• Weisstein, Eric W. Lyapunov Function (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• Khalil, H.K. Nonlinear systems. — Prentice Hall Upper Saddle River, NJ, 1996.