Теорема Вейерштрасса об ограниченной возрастающей последовательности

'Теорема Вейерштрасса об ограниченной возрастающей последовательности утверждает, что любая ограниченная возрастающая последовательность имеет предел, причем этот предел равен ее точной верхней грани. Несмотря на простоту доказательства, эта теорема оказывается очень удобной для нахождения пределов многих последовательностей, или хотя бы доказательства их существования.

Доказательство и формулировка

Пусть ${x_n}$ - возрастающая последовательность, ограниченная собственным супремумом $S$. Тогда $\lim_{n \to \infty} x_n = S$. Действительно, с одной стороны, если найдется такое число $\varepsilon$, что в $U_{\varepsilon}(S)$ нет элементов $(x_n)$, то ($S - \frac {\varepsilon}{2}$) - число, меньшее $S$, но большее любого элемента ${x_n}.$. Cледовательно $S$ - не супремум, пришли к противоречию. Значит, $S$ - предельная точка ${x_n}$. Но у возрастающей последовательности может быть лишь одна предельная точка, это ее предел. Теорема доказана.

Вариации и обобщения

Для строго убывающей последовательности аналогичное утверждение верно для точной нижней грани.

Связать^?

На эту статью не ссылаются другие статьи Википедии. Пожалуйста, воспользуйтесь подсказкой и установите ссылки в соответствии с принятыми рекомендациями.