Кубические простые числа

Кубические простые числа — это простые числа, которые являются решением одного из двух кубических уравнений третей степени от переменных x и y. Первое из них:

$p = \frac{x^3 - y^3}{x - y},\ x = y + 1,\ y>0$^[1]

и первые несколько таких кубических простых чисел:

7, 19, 37, 61, 127, 271, 331, 397, 547, 631, 919, 1657, 1801, 1951, 2269, 2437, 2791, 3169, 3571, 4219, 4447, 5167, 5419, 6211, 7057, 7351, 8269, 9241, 10267, 11719, 12097, 13267, 13669, 16651, 19441, 19927, 22447, 23497, 24571, 25117, 26227 (последовательность A002407 в OEIS)

Такие числа могут быть переписаны в виде $\tfrac{(y+1)^3 - y^3}{y + 1 - y}$, что можно упростить до $3y^2 + 3y + 1$. Это выражение как раз определяет центрированные шестиугольные числа; Таким образом, все эти кубические простые числа являются центрированными шестиугольными.

К январю 2006 наибольшее известное такое число имело 65537 знаков, где $y = 100000845^{4096}$,^[2], было найдено Йенсом Крузом Андерсеном (Jens Kruse Andersen).

Второе уравнение:

$p = \frac{x^3 - y^3}{x - y},\ x = y + 2,\ y>0.$^[3]

упрощается до $3y^2 + 6y + 4$. При подстановке $y = n - 1$ его можно переписать как $3n^2 + 1, \ n>1$.

Несколько первых кубических чисел этого вида:

13, 109, 193, 433, 769, 1201, 1453, 2029, 3469, 3889, 4801, 10093, 12289, 13873, 18253, 20173, 21169, 22189, 28813, 37633, 43201, 47629, 60493, 63949, 65713, 69313 (последовательность A002648 в OEIS)

См. также

• Кубическая функция
• Список простых чисел
• Простое число

Примечания

1. ↑ Cunningham, On quasi-Mersennian numbers
2. ↑ Caldwell, Prime Pages
3. ↑ Cunningham, Binomial Factorisations, Vol. 1, pp. 245—259

Ссылки

• Математический проект «Простые числа»
• Geometrical connection between natural numbers and their factors

Связать^?