Квадратура круга Тарского

Квадрату́ра кру́га Та́рского — задача, сформулированная Альфредом Тарским в 1925 году:

Возможно ли разрезать круг на конечное количество частей и собрать из них квадрат такой же площади? Или, более формально, возможно ли разбить круг на конечное количество попарно непересекающихся (англ.) подмножеств, и передвинуть их так, чтобы получить разбиение квадрата такой же площади на попарно непересекающихся подмножества?

Возможность такого разбиения доказал венгерский математик Миклош Лацкович (англ.) в 1990 году (уже спустя 7 лет после смерти Тарского). Доказательство опирается на аксиому выбора. Найденное разбиение состоит из примерно 10⁵⁰ частей, которые являются неизмеримыми множествами, и границы которых не являются жордановыми кривыми. Для перемещения частей достаточно использовать только параллельный перенос, без поворотов и отражений. Кроме того, Лацкович доказал, что аналогичное преобразование возможно между квадратом и любым многоугольником.

В 2005 году Trevor M. Wilson доказал, что существует требуемое разбиение, при котором части можно сдвигать параллельным переносом таким образом, чтобы они всё время оставались непересекающимися.

См. также

• Парадокс Банаха — Тарского
• Квадратура круга

Ссылки

• Hertel, Eike & Richter, Christian (2003), "«Squaring the circle by dissection»", Beiträge zur Algebra und Geometrie Т. 44 (1): 47–55, <http://www.emis.ams.org/journals/BAG/vol.44/no.1/b44h1her.pdf> .
• Laczkovich, Miklos (1990), "«Equidecomposability and discrepancy: a solution to Tarski's circle squaring problem»", Journal für die Reine und Angewandte Mathematik Т. 404: 77–117, DOI 10.1515/crll.1990.404.77 .
• Laczkovich, Miklos (1994), "Paradoxical decompositions: a survey of recent results", «Proc. First European Congress of Mathematics, Vol. II (Paris, 1992)», vol. 120, Progress in Mathematics, Basel: Birkhäuser, сс. 159–184 .
• Tarski, Alfred (1925), "«Probléme 38»", Fundamenta Mathematicae Т. 7: 381 .
• Wilson, Trevor M. (2005), "«A continuous movement version of the Banach–Tarski paradox: A solution to De Groot's problem»", Journal of Symbolic Logic Т. 70 (3): 946–952, DOI 10.2178/jsl/1122038921 .