- Интеграл Курцвейля
-
Интеграл Курцвейля — Хенстока — обобщение интеграла Римана, позволяет полностью решить задачу о восстановлении дифференцируемой функции по её производной. Ни интеграл Римана (в том числе и несобственный), ни интеграл Лебега не дают решения этой задачи в общем случае.
Содержание
История
Первое определение интеграла, позволяющего решить задачу в общем случае было дано Арно Данжуа в 1912 году, он совершил попытку определить интеграл, позволивший бы интегрировать, например, производную функции . Функция определена и конечна во всех точках, но не интегрируема по Лебегу. В попытке создания общей теории Данжуа использовал трансфинитную индукцию по возможным типам особенностей, которые сделали определение довольно сложным. Чуть позже Николай Лузин упростил определение Данжуа, но даже и после упрощения это определение оставалось технически очень сложным. В 1914 году Оскаром Перроном дано другое определение интеграла, также позволяющее полностью решить задачу о восстановлении функции по её производной. Через 10 лет Павел Александров и Роберт Ломан установили тождественность интегралов Данжуа и Перрона.
В 1957 году чешский математик Ярослав Курцвейль предложил новое определение интеграла, также позволявшее полностью решить задачу о восстановлении функции по её производной. Его определение являлось модификацией определения интеграла Римана. Дальнейшая теория этого интеграла была разработана Ральфом Хенстоком, после его работ конструкция известна как интеграл Курцвейля — Хенстока. Этот интеграл также тождественен интегралам Данжуа и Перрона.
По причине простоты определения интеграла Хенстока — Курцвейля некоторые преподаватели выступают за то, чтобы заменить им интеграл Римана в начальном курсе математического анализа, но пока эта идея непопулярна, отчасти из-за существенно более сильной формулы Ньютона — Лейбница, верной для дифференцируемых почти всюду функций
. Доказательство этого факта весьма нетривиально.Определение
Определение интеграла Курцвейля — Хенстока:
Назовём калибровочной функцией любую функцию .
Назовём оснащённым разбиением P отрезка [a,b] конечный набор пар , где и .
Назовём оснащённое разбиение P δ-тонким, если при всех k от 1 до n.
Для оснащённого размеченного разбиения P и функции назовём суммой Римана выражение:
- .
Функция называется интегрируемой по Хенстоку-Курцвейлю на отрезке [a, b], если существует число I, обладающее следующим свойством: для любого ε > 0 существует такая калибровочная функция , что для любого -тонкого оснащенного разбиения P имеет место неравенство .
В этом случае число I называется интегралом Курцвейля — Хенстока от функции f.
Существование -тонких оснащенных разбиений для данной калибровочной функции δ следует из теоремы Кузена (англ. Cousin's theorem).
Интеграл Римана является частным случаем интеграла Курцвейля-Хенстока, в его определении допускаются только постоянные калибровочные функции.
Литература
- Лукашенко Т. П., Скворцов В. А., Солодов А. П. Обобщенные интегралы 2010. 280 с. ISBN 978-5-397-00267-7
Ссылки
- Несобственный интеграл Римана и интеграл Хенстока в R^n, П. Мальдониa, В. А. Скворцов Матем. заметки, 2005, том 78, выпуск 2, страницы 251—258
- Обобщенные интегралы и ряды Фурье И. А. Виноградова, В. А. Скворцов Итоги науки. Сер. Математика. Мат. анал. 1970, 1971, страницы 65-107
Для улучшения этой статьи по математике желательно?: - Проверить качество перевода с иностранного языка.
- Исправить статью согласно стилистическим правилам Википедии.
Категория:- Интегралы
Wikimedia Foundation. 2010.