Изометричные поверхности

Изометри́чные поверхности — поверхности в евклидовом или римановом пространстве такие, что между ними можно установить взаимно однозначное точечное соответствие, при котором каждая спрямляемая кривая одной из поверхностей имеет своим образом тоже спрямляемую кривую и той же длины.

Изометричные поверхности характеризуются изометричным (попарным)соответствием — изометрией относительно внутренних метрик, индуцированных на них метрикой объемлющего пространства.

Если изометрия поверхностей влечет их равенство, точнее, если для любой поверхности $\Phi$ из некоторого класса $\Kappa$, изометричной поверхности $\Phi 1$, пространственные расстояния между соответствующими по изометрии точками $\Phi$ и $\Phi 1$ равны, то $\Phi 1$ называется однозначно определенной, или для $\Phi 1$ имеет место одназначная определенность (внутренней метрикой) в классе $\Kappa$.

Теорема

Поверхности $\Phi$ и $\Phi 1$ называются изометричными, если существует взаимно однозначное отображение поверхности $\Phi$ на поверхность $\Phi 1$ при котором соответствующие кривые на этих поверхностях имеют одинаковые длины.

Если регулярные поверхности $\Phi$ и $\Phi 1$ можно параметризовать так, что их первые квадратичные формы будут одинаковы, то поверхности изометричны. Изометрическое отображение заключается в сопоставлении точек с одинаковыми внутренними координатами. Обратно, если поверхности $\Phi$ и $\Phi 1$ изометричны, то они могут быть параметризованы так, что их первые квадратичные формы будут одинаковы.

Свойства

Пример изометричной поверхности — совокупность поверхностей, полученных изгибанием данной поверхности.

Равные поверхности — изометричны. Обратное не всегда верно. Например, область $0<x<\tfrac{\pi}{2}$, $0<y<1$ на координатной плоскости $XOY$ изометрична области на цилиндре $x^2+y^2=1$, определяемой условиями: $0<Z<1, X>0, Y>0.$

Для доказательства достаточно заметить, что указанная область на цилиндре допускает параметризацию: $x=\cos u, y=\sin u, z=v, 0<u<\tfrac{\pi}{2}, 0<v<1.$

Линейный элемент цилиндра, соответствующий такой параметризации, есть $du^2+dv^2.$ Отсюда видно, что отображение $x=u, y=v$, изометрическое.

Так как углы между кривыми на поверхности и площадь поверхности определяется первой квадратичной формой, то при изометрическом отображении сохраняются углы между кривыми и площади, то есть соответствующие кривые изометричных поверхностей образуют одинаковые углы, а соответствующие области имеют одинаковые площади.

Изгибание поверхности

Изгибание неразрывно связано с изометричными поверхностями. Изгибанием поверхности называется такая непрерывная её деформация, при которой длины кривых на поверхности не изменяются. Наглядное представление об изгибании может дать изгибание листа бумаги (при условии, что бумага нерастяжима; поэтому длина каждой дуги любой линии, проведённой на бумаге, остаётся неизменной).

Так как при изгибании поверхности длины кривых не изменяются и, следовательно, поверхность в любой момент изгибания изометрична исходной поверхности, то при соответствующей параметризации первая квадратичная форма при изгибании поверхности не изменяется.

Среди поверхностей существуют поверхности, не допускающие непрерывных изгибаний. Таковы, например, все замкнутые выпуклые поверхности. Одна из теорем этой области — теорема Гаусса:

При изгибании поверхности произведение её главных кривизн (полная кривизна) в каждой точке остаётся неизменным.

Из этой теоремы следует, что никакой кусок сферы при помощи изгибания нельзя превратить в кусок сферы другого радиуса или придать ему плоскую форму.

Совокупность геометрических фактов, относящихся к поверхности, которые можно получить при помощи ее первой квадратичной формы, составляют так называемую внутреннюю геометрию поверхности. Таким образом, если поверхность $\Phi$ получается из поверхности $\Phi 1$ путем изгибания, то внутренние геометрии этих поверхностей совпадают.

Доказано, что каждая замкнутая выпуклая поверхность (например, целая сфера, целый эллипсоид) не может изгибаться; если же из такой поверхности вырезать сколь угодно малый кусок, то оставшаяся часть будет допускать изгибание. Доказательство получено благодаря работам немецкого математика С. Кон-Фоссена и советских математиков А. Д. Александрова и А. В. Погорелова.

См. также

• Поверхность
• Изгибаемый многогранник
• Изометрия

Литература

• Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия И. М. Виноградов 1977—1985