Планигон

Планигон — выпуклый многоугольник правильного разбиения плоскости на равные многоугольники, то есть такого разбиения, что существует группа движений плоскости, совмещающая разбиение с собой, которая действует транзитивно на совокупности многоугольников разбиения.

На евклидовой плоскости существует 11 комбинаторных типов разбиения — т. н. сети Шубникова — Лавеса. Однако группа симметрии для одного комбинаторного типа может действовать по-разному. Взаимосвязь комбинаторного типа и группы симметрии характеризуется т. н. символом смежности. На евклидовой плоскости существует 46 общих правильных разбиений с различным символом смежности.

На плоскости Лобачевского планигонами являются правильные многоугольники с любым числом $n$ сторон и любым данным числом a сходящихся в каждой вершине планигона. Для числа сторон $n=3$, $4$, $5$, $6$, $>6$ можно выбрать такой размер планигона, что $a\ge 7$, $\ge 5$, $\ge 4$, $\ge 4$, $\ge 3$.

Вариации и обобщения

• Многомерным аналогом планигона является стереоэдр.
  • Параллелоэдр — частный случай стереоэдра, для случая когда группа изометрий состоит только из параллельных переносов.

Литература

• Делоне Б. Н., «Изв. АН СССР. Сер. матем.», 1959, т. 23, № 3, с. 365—86;
• Делоне Б. Н., Долбилин Н. П., Штогрин М. И., «Тр. Матем. ин-та АН СССР», 1978, т. 148, с. 109—40;
• Сенешаль М., Флек Дж. Узоры симметрии, пер. с англ., М., 1980. 272 с.

Для улучшения этой статьи по математике желательно?: Добавить иллюстрации.