Банахова алгебра

Ба́наховой алгеброй над комплексным или действительным полем называется ассоциативная алгебра, являющаяся при этом Банаховым пространством. При этом умножение в ней должно быть согласовано с нормой: $\forall x, y \in A , \|x \, y\| \ \leq \|x \| \, \| y\|$. Алгебра называется унитальной, если она обладает единицей (то есть таким элементом $1_{A}$, что $\forall x \in A \ x1_{A}=1_{A}x=x$ иногда этот элемент записывают просто как 1, если нет опасности путаницы). Если единица существует, то она единственна. Элементы a и b называются перестановочными, если $ab=ba$. Алгебра называется коммутативной, если все ее элементы перестановочны. Элемент алгебры называется обратимым, если $\ \exists a^{-1}: \ aa^{-1}=a^{-1}a=1_A$. Спектром $\sigma(a)$ элемента $a$ называется множество таких $\lambda \in \mathbb{C}: a-\lambda 1$ необратим.

Примеры

• Поля комплекcных чисел или действительных чисел — $\mathbb{C}$ и $\mathbb{R}$ относительно стандартных операций сложения и умножения. Это унитальные коммутативные алгебры.
• Комплексные или действительные матрицы относительно матричного умножения и какой-нибудь матричной нормы.
• Алгебра кватернионов является действительно алгеброй с нормой — модулем.
• $C( \Omega )$ — пространство непрерывных функций на компакте относительно поточечного умножения относительно sup-нормы. Более общий пример — $C_0( \Omega )$, где $\Omega$ — локально компактное пространство.
• Пространство ограниченных операторов относительно операторной нормы и композиции в качестве умножения. Пространство компактных операторов относительно тех же операций.
• $L_1(R)$ относительно умножения — свертки.
• C*-алгебра — алгебра с *-инволюцией, согласованной с нормой: $\forall a \ ||a^*a||=||a||^2$

Свойства

• Обратимые элементы образуют группу $Inv(A)$. Отображение $Inv$, сопоставляющее каждому элементу обратный непрерывно на $Inv(A)$
• $Inv(A)$ — открытое множество.
• Теорема Гельфанда-Мазура : каждая унитальная комплексная банахова алгебра, в которой все ненулевые элементы обратимы изоморфна $\mathbb{C}$
• В унитальной алгебре единица не может быть коммутатором: $xy - yx \ne \mathbf{1}$  для любых x, y ∈ A. Отсюда следует, что $\lambda 1 \ \lambda \ne 0$ также не является коммутатором.
• Все характеры (гомоморфизмы в $\mathbb{C}$) являются сжимающими операторами.
• Если $I$-замкнутый идеал, то факторалгебра $A/I$ с факторнормой является банаховой алгеброй.

Спектры

• Спектр элемента унитальной комплексной банаховой алгебры — непустой компакт. Для любого компакта $K$ спектр $w(z)=z$ на $C(K)$ совпадает с $K$, то есть других ограничений нет.
• Спектральным радиусом $R$ элемента $x$ называется $\sup \{ |\lambda| : \lambda \in \sigma(x) \}.$ Для него верна формула спектрального радиуса $R = \lim_{n \to \infty} \|x^n\|^{1/n}.$
• Если $\varphi: A \to B$ -унитальный (переводящий единицу $A$ в единицу $B$) гомоморфизм, то для любого $a \in A$ выполнено $\sigma_{B}(\varphi(a)) \subseteq \sigma_A(a)$. То есть при гомоморфизме спектр либо сохраняется, либо уменьшается.
• Если $p\in\mathbb{C}[t]$ — многочлен с комплексными коэффициентами, тогда $p(\sigma (a))=\sigma (p(a))$. Это утверждение также верно для любой голоморфной функции, в частности синуса, логарифма и экспоненты.

Литература

• Хелемский А. Я. Лекции по функциональному анализу. — М.: МЦНМО, 2004. — ISBN 5-94057-065-8