БАНАХОВА АЛГЕБРА

- топологическая алгебра А над полем комплексных чисел, топология к-рой определяется нормой, превращающей Ав банахово пространство, причем умножение элементов непрерывно по каждому из сомножителей. Б. а. наз. коммутативной, если Для всех (см. Коммутативная банахова алгебра). Б. а. Аназ. алгеброй с единицей, если Асодержит такой элемент е, что для любого . Если в Б. а. A нет единицы, то ее можно присоединить, т. е. построить Б. а. A с единицей такую, что Асодержит исходную алгебру Ав качестве замкнутой подалгебры коразмерности 1. В любой Б. а. А с единицей еможно так изменить норму на эквивалентную, чтобы в новой норме выполнялись соотношения (Последующее изложение предполагает, как правило, наличие в алгебре единицы и выполнение приведенных соотношений для нормы.)

Примеры. 1) Пусть X - компактное топологич. пространство, - совокупность всех непрерывных комплексных функций на X. Тогда является Б. а. относительно поточечных операций и нормы

2) Множество всех ограниченных линейных операторов на банаховом пространстве образует Б. а. относительно обычных операций сложения и умножения линейных операторов и нормы оператора.

3) Пусть V - ограниченная область в n-мерном комплексном пространстве . Совокупность ограниченных голоморфных функций на Vявляется Б. а. относительно поточечных операций и естественной sup-нормы:

Эта Б. а. содержит замкнутую подалгебру, образованную ограниченными голоморфными функциями на , допускающими непрерывное продолжение на замыкание области . Простейшим примером является алгебра непрерывных в круге функций, аналитических в круге

4) Пусть - локально компактная группа и - пространство (классов эквивалентности) всех измеримых относительно меры Хаара на абсолютно интегрируемых по этой мере функций, снабженное нормой

(интеграл по левой мере Хаара).

Если в качестве умножения в рассмотреть операцию свертки

то становится Б. а.; если G - абелева локально компактная группа, то Б. а. коммутативна. Б. а. наз. групповой алгеброй локально компактной группы G. Групповая алгебра обладает единицей (относительно свертки) тогда и только тогда, когда Gдискретна.

Если Gкоммутативна, то можно построить точное представление Б. а. , сопоставляя каждой функции преобразование Фурье этой функции, т. е. функцию

на группе характеров группы . Совокупность функций , образует нек-рую алгебру непрерывных функций на (относительно обычных поточечных операций), наз. алгеброй Фурье локально компактной абелевой группы . В частности, если есть группа целых чисел , то есть алгебра непрерывных функции на окружности, разлагающихся в абсолютно сходящийся тригонометрич. ряд.

5) Пусть - топологич. группа. Непрерывная комплексная функция на наз. почти периодической, если совокупность ее сдвигов , , образует компактное семейство относительно равномерной сходимости на G. Совокупность почтв периодич. функций образует коммутативную Б. а., относительно поточечных операций и нормы

6) Тело кватернионов не образует Б. а. над полем комплексных чисел, так как произведение элементов Б. а. А должно быть согласовано с умножением на числа: для любых и должно выполняться равенство

к-рое не выполняется в теле кватернионов при ,

Всякая Б. а. с единицей есть топологич. алгебра с непрерывным обратным. Более того, если - множество элементов Б. а. А, обладающих (двусторонним) обратным относительно умножения, то - топологич. группа в топологии, индуцированной вложением . Если причем

где и ряд сходится абсолютно. Совокупность элементов, обратимых справа (слева) в А, также образует открытое множество в А.

Если в Б. а. Авсякий элемент обладает обратным (или хотя бы левым обратным), то алгебра Аизометрически изоморфна полю комплексных чисел (теорема Гельфанда - Мазура).

Поскольку нек-рая окрестность единицы в Б. а. Асостоит из обратимых элементов, то замыкание любого нетривиального идеала есть снова идеал, не совпадающий с А. В частности, максимальный (левый, правый,, двусторонний) идеал замкнут.

Одну из важных задач теории Б. а. составляет задача описания замкнутых идеалов в Б. а. В ряде случаев она решается просто. В алгебре С(X).(см. пример 1) всякий замкнутый идеал имеет вид где Y - замкнутое множество в X. Если А - алгебра всех, ограниченных линейных операторов в сепарабельном бесконечномерном гильбертовом пространстве, то единственным замкнутым двусторонним идеалом в А служат идеал вполне непрерывных операторов.

Элемент имеет левый (правый) обратный тогда и только тогда, когда он не содержится ни в каком максимальном левом (правом) идеале.

Пересечение всех левых максимальных идеалов в Асовпадает с пересечением всех правых максимальных идеалов; это пересечение наз. радикалом алгебры Аи обозначается . Элемент принадлежит тогда и только тогда, когда для любого Алгебры, для к-рых , наз. полупростыми. Алгебры и групповые алгебры полупросты. Полупростыми являются все неприводимые (т. е. не имеющие нетривиального инвариантного подпространства) замкнутые подалгебры алгебры всех ограниченных линейных операторов в банаховом пространстве.

Резольвентой элемента наз. функция

определенная на множестве тех , для к-рых (двусторонний) обратный к существует. Область существования резольвенты содержит все точки . Максимальная область существования резольвенты есть открытое множество; на этом множестве резольвента непрерывна п даже аналитична, причем Кроме того, имеет место тождество Гильберта

Дополнение к области существования резольвенты наз. спектром элемента аиобозначается . Для любого множество непусто, замкнуто и ограничено.

Если то множества и могут не совпадать, но

Число

наз. спектральным радиусом элемента ; имеет место формула Гельфанда

где предел справа всегда существует. Если то обратное верно, вообще говоря, лишь в коммутативных Б. а., радикал к-рых совпадает с множеством обобщенных нильпотентов, т. е. элементов для к-рых В любой Б. а. справедливы соотношения если Акоммутативна, то

Известны примеры некоммутативных алгебр, в к-рых отсутствуют ненулевые обобщенные нильпотенты. Однако, если для любого , те Б. а. Акоммутативна. Условие для всех также достаточно для коммутативности (алгебры с единицей) А.

Алгебра Аназ. алгеброй с инволюцией, если на Аопределена операция , удовлетворяющая условиям:

для всех отображение наз. инволюцией в А. Линейный функционал на алгебре Ас инволюцией наз. положительным, если для любого . При положительном линейном функционале

для всех . Если инволюция в Аизометрична, т. е. для всех , то

.

Б. а. с инволюцией Аназ. вполне симметричной, если для любого наз. -алгеброй (вполне регулярной алгеброй), если для любого . Всякая алгебра внолне симметрична. Примерами вполне симметричных алгебр служат групповые алгебры коммутативных, или компактных, групп. Примерами -алгебр служат алгебры (инволюция в определяется как переход к комплексно сопряженной функции) и замкнутые подалгебры алгебры ограниченных линейных операторов в гильбертовом пространстве, содержащие вместе с данным оператором сопряженный оператор (инволюция определяется как переход к сопряженному оператору). Любая -алгебра изометрически изоморфна (с сохранением инволюции) одной из таких алгебр (теорема Гельфанда- Наймарка). В частности, любая коммутативная -алгебра Аизометрически изоморфна (с сохранением инволюции) одной из алгебр (это утверждение содержит теорему Стоуна - Вейерштрасса).

Элемент Б. а. с инволюцией наз. эрмитовым, если Для того чтобы Б. а. с инволюцией была -алгеброй, необходимо и достаточно выполнение условия для всех эрмитовых элементов а. Если в Б. а. с инволюцией sup (верхняя грань по всем эрмитовым элементам), то такая алгебра топологически -изоморфна -алгебре. Если в произвольной Б. а. при всех действительных для нек-рого элемента , то совпадает со спектральным радиусом, т. е. .

Теория Б. а. (в особенности коммутативных Б. а.) имеет многочисленные приложения в различных областях функционального анализа и ряде других математич. дисциплин.

Лит.:[1] Бурбаки Н., Спектральная теория, пер. О франц., М., 1972; [2] Гамелин Т. В., Равномерные алгебры, пер. с англ., М., 1973; [3] Ганнинг Р., Росси X., Аналитические функции многих комплексных переменных, пер. с англ., М., 1969; [4] Гельфанд И. М., "Матем. сб.", 1941, т. 9 (51), с. 3-24; [5] Глисон А., "Математика", 1961, т. 5, в. 2, с. 161-6; [6] Гофман К., Банаховы пространства аналитических функций, пер. с англ., М., 1963; [7] Горин Е. А., "Матем. заметки", 1967, т. 1, № 2, с. 173-78; [8] Данфорд Н., Шварц Дж.-Т., Линейные операторы, пер. с англ., т. 2, М., 1966; [9] W., Algebry Banacha, Warsz., 1968; [10] Капланский И., "Математика", 1959, т. 3, в. 5, с. 91 - 115; [11] Люмис Л. X., Введение в абстрактный гармонический анализ, пер. с англ., М., 1956; [12] Наймарк М. А., Нормированные кольца, 2 изд., М., 1968; [13] Некоторые вопросы теории приближений, сб. пер. с англ., М., 1963; [14] Riсkart С. Е., General theory of Banach algebras, N. Y., 1960; [15] Ройден X. Л., "Математика", 1965, т. 9, в. 2, с. 98-114; [16] Фелпс Р..Лекции о теоремах Шоке, пер. с англ., М., 1968; [17] Хилле Э.,ФиллипсР., Функциональный анализ и полугруппы, пер. с англ., М., 1962.

Е. А. Горин.