Числа харшад

Число харшад — это натуральное число, делящееся нацело на сумму своих цифр. Таким числом является, например, 1729, так как 1729 = (1 + 7 + 2 + 9) × 91.

Очевидно, что все числа от 1 до 10 являются числами харшад.

Первые 50 чисел харшад, не меньших 10: 10, 12, 18, 20, 21, 24, 27, 30, 36, 40, 42, 45, 48, 50, 54, 60, 63, 70, 72, 80, 81, 84, 90, 100, 102, 108, 110, 111, 112, 114, 117, 120, 126, 132, 133, 135, 140, 144, 150, 152, 153, 156, 162, 171, 180, 190, 192, 195, 198, 200 — последовательность A005349 в OEIS.

Имеет смысл также рассматривать числа харшад в других системах счисления. Числа, которые являются числами харшад во всех системах счисления, называются обобщёнными числами харшад. Их всего 4: 1, 2, 4, 6.

Понятие «чисел харшад» было введено индийским математиком Даттарая Рамчандра Капрекаром. Слово «харшад» происходит от санскритского harṣa ^IAST ‘великая радость’.

Оценка плотности распределения чисел харшад

Пусть $N(x)$ — количество чисел харшад, не больших $x$, тогда для любого ε > 0,

$x^{1-\varepsilon} \ll N(x) \ll \frac{x\log\log x}{\log x}$

как показали Жан-Мари де Конинк и Николас Доён; более того, де Конинк, Доёни и Катаи доказали, что

$N(x)=(c+o(1))\frac{x}{\log x}$

где

$c = \frac{14}{27} ln 10 \approx 1.1939$.