Четверная группа Клейна

Четверна́я гру́ппа Кле́йна — группа четвёртого порядка, играет важную роль в высшей алгебре.

Определение

Бинарная операция между элементами четверной группы Клейна задается следующей таблицей Кэли^[1]:

	$a_{0}$	$a_{1}$	$a_{2}$	$a_{3}$
$a_{0}$	$a_{0}$	$a_{1}$	$a_{2}$	$a_{3}$
$a_{1}$	$a_{1}$	$a_{0}$	$a_{3}$	$a_{2}$
$a_{2}$	$a_{2}$	$a_{3}$	$a_{0}$	$a_{1}$
$a_{3}$	$a_{3}$	$a_{2}$	$a_{1}$	$a_{0}$

Здесь $a_{0}, a_{1}, a_{2}, a_{3}$ — элементы четверной группы Клейна. В этой таблице в первом столбце указан первый участник бинарной операции, в первой строке указан второй участник бинарной операции, на пересечении строки и столбца (белый фон) находится результат бинарной операции, задающей группу.

Как видно из таблицы, элемент $a_{0}$ является единицей группы. Группа Клейна является конечной коммутативной группой. Порядок каждого её элемента, отличного от единицы, равен 2, поэтому группа не является циклической.

Обозначение

Обозначается $V_{4}$.

Значение в математике

Является прямым произведением циклических групп второго порядка $C_{2}$ × $C_{2}$. Представляет собой простейшую группу диэдра $(D_{2})$^[2].

Является наименьшей по порядку нециклической группой.

Любая группа четвертого порядка изоморфна либо циклической группе, либо четверной группе Клейна.

Симметрическая группа $S_{4}$ имеет, кроме себя самой и единичной подгруппы, лишь две нормальные подгруппы — знакопеременную группу $A_{4}$ и четверную группу Клейна $D_{2}$, состоящую из подстановок ( ), (12)(34), (13)(24), (14)(23)^[2].

Данная группа встречается и во многих других разделах математики. Примеры изоморфных ей групп:

• Приведённая система вычетов по модулю 8, состоящая из классов 1, 3, 5, 7.
• Группа самосовмещений или поворотов ромба (в пространстве)^[3].
• Группа поворотов тетраэдра на угол $\pi$ вокруг всех трёх рёберных медиан (вместе с тождественным поворотом)^[4].

История

Была введена в математику Феликсом Клейном в 1884 г.^[5] .

Примечания

1. ↑ П. С. Александров. Введение в теорию групп. М.: «Наука», 1980, 144 с., «Библиотечка Квант», вып. 7, ББК 22.144 517.1, гл. 1 «Понятие группы», п. 2 «Вводные примеры», п. 4 «Клейновская группа четвертого порядка», c. 23;
2. ↑ ^{1 2} Зайцев В. Ф. «Введение в современный групповой анализ», Санкт-Петербург, 1996, УДК 517.9, п. 2 «Дискретные группы преобразований», c. 10
3. ↑ П. С. Александров «Введение в теорию групп», М., «Наука», 1980, 144 с., «Библиотечка Квант», вып. 7, ББК 22.144 517.1, гл. 5 «Простейшие группы самосовмещений», п. 3 «Группы поворотов правильной пирамиды и двойной пирамиды», п. 3 «Случай вырождения: группы поворотов отрезка и ромба», c. 71;
4. ↑ П. С. Александров «Введение в теорию групп», М., «Наука», 1980, 144 с., «Библиотечка Квант», вып. 7, ББК 22.144 517.1, гл. 5 «Простейшие группы самосовмещений», п. 3 «Группы поворотов правильной пирамиды и двойной пирамиды», п. 4 «Группа поворотов правильного тетраэдра», c. 75;
5. ↑ Клейн Ф. «Лекции об икосаэдре и решении уравнений пятой степени.» — М.: «Наука», 1989. — 336 с.;