Формула Лиувилля-Остроградского

Формула Лиуви́лля-Острогра́дского — формула, связывающая определитель Вронского (вронскиа́н) для решений дифференциального уравнения и коэффициенты в этом уравнении.

Пусть есть дифференциальное уравнение вида

y⁽ⁿ⁾ + P₁(x)y^{(n − 1)} + P₂(x)y^{(n − 2)} + ... + P_n(x)y = 0,

тогда $W(x)=W(x_0)e^{-\int_{x_0}^x P_1(\zeta)d\zeta}=Ce^{-\int P_1(x)dx},$ где W(x) — определитель Вронского

Для линейной однородной системы дифференциальных уравнений

y'(x) = A(x)y(x), где A(x) — непрерывная квадратная матрица порядка n, справедлива формула Лиувилля-Остроградского

$W(x)=W(x_0)e^{\int_{x_0}^x \mathop{\rm tr} A(\zeta)d\zeta},$ где $\mathop{\rm tr} A(x)$ — след матрицы A(x)

Правило дифференцирования определителя размерности 2

Производная определителя $\Delta=\Delta(x)=\begin{vmatrix} a_{11}(x) & a_{12}(x) \\ a_{21}(x) & a_{22}(x) \end{vmatrix}=a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}$ по переменной х имеет вид $\frac{d \Delta}{d x}=(a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21})'=a_{11}'a_{22}+a_{11}a_{22}'-a_{12}'a_{21}-a_{12}a_{21}'=\begin{vmatrix} a_{11}' & a_{12}' \\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix}+\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21}' & a_{22}' \end{vmatrix}$

Правило дифференцирования определителя размерности n

Пусть $\Delta = \Delta(x) = \det \left( \begin{matrix} a_{11}(x) & a_{12}(x) & \dots & a_{1n}(x)\\ a_{21}(x) & a_{22}(x) & \dots & a_{2n}(x)\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ a_{n1}(x) & a_{n2}(x) & \dots & a_{nn}(x)\\ \end{matrix} \right)$

Тогда для производной Δ'(x) верно

$\Delta'(x) = \begin{vmatrix} a_{11}'(x) & a_{12}'(x) & \dots & a_{1n}'(x)\\ a_{21}(x) & a_{22}(x) & \dots & a_{2n}(x)\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ a_{n1}(x) & a_{n2}(x) & \dots & a_{nn}(x)\\ \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} a_{11}(x) & a_{12}(x) & \dots & a_{1n}(x)\\ a_{21}'(x) & a_{22}'(x) & \dots & a_{2n}'(x)\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ a_{n1}(x) & a_{n2}(x) & \dots & a_{nn}(x)\\ \end{vmatrix} + \dots + \begin{vmatrix} a_{11}(x) & a_{12}(x) & \dots & a_{1n}(x)\\ a_{21}(x) & a_{22}(x) & \dots & a_{2n}(x)\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ a_{n1}'(x) & a_{n2}'(x) & \dots & a_{nn}'(x)\\ \end{vmatrix}$

(в i-м слагаемом продифференцирована i-я строка)

Доказательство  

Воспользуемся формулой полного разложения определителя

$\Delta(x) = \sum_{i_1, i_2, \dots, i_n} (-1)^{P(i_1, i_2, \dots, i_n)} a_{1 i_1}(x) a_{2 i_2}(x) \cdots a_{n i_n}(x)$

Сумма взята по всевозможным перестановкам чисел $1,2,\dots,n$, $P(\cdot)$ - четность перестановки.

Дифференцируя это выражение по x, получим

$\begin{align}[l] \Delta'(x) &= \sum_{i_1, i_2, \dots, i_n} (-1)^{P(i_1, i_2, \dots, i_n)} \frac{d\left(a_{1 i_1}(x) a_{2 i_2}(x) \cdots a_{n i_n}(x)\right)}{dx} = \\ &=\sum_{i_1, i_2, \dots, i_n} (-1)^{P(i_1, i_2, \dots, i_n)} \left( a_{1 i_1}'(x) a_{2 i_2}(x) \cdots a_{n i_n}(x) + \dots + a_{1 i_1}(x) a_{2 i_2}(x) \cdots a_{n i_n}'(x) \right) = \\ &=\sum_{i_1, i_2, \dots, i_n} (-1)^{P(i_1, i_2, \dots, i_n)} a_{1 i_1}'(x) a_{2 i_2}(x) \cdots a_{n i_n}(x) + \\ &+\sum_{i_1, i_2, \dots, i_n} (-1)^{P(i_1, i_2, \dots, i_n)} a_{1 i_1}(x) a_{2 i_2}'(x) \cdots a_{n i_n}(x) + \\ &+\dots + \\ &+\sum_{i_1, i_2, \dots, i_n} (-1)^{P(i_1, i_2, \dots, i_n)} a_{1 i_1}(x) a_{2 i_2}(x) \cdots a_{n i_n}'(x) \end{align}$

В каждой сумме продифференцированы элементы i-й строки и только они. Заменив суммы определителями, получим

$\Delta'(x) = \begin{vmatrix} a_{11}'(x) & a_{12}'(x) & \dots & a_{1n}'(x)\\ a_{21}(x) & a_{22}(x) & \dots & a_{2n}(x)\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ a_{n1}(x) & a_{n2}(x) & \dots & a_{nn}(x)\\ \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} a_{11}(x) & a_{12}(x) & \dots & a_{1n}(x)\\ a_{21}'(x) & a_{22}'(x) & \dots & a_{2n}'(x)\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ a_{n1}(x) & a_{n2}(x) & \dots & a_{nn}(x)\\ \end{vmatrix} + \dots + \begin{vmatrix} a_{11}(x) & a_{12}(x) & \dots & a_{1n}(x)\\ a_{21}(x) & a_{22}(x) & \dots & a_{2n}(x)\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ a_{n1}'(x) & a_{n2}'(x) & \dots & a_{nn}'(x)\\ \end{vmatrix}$

Доказательство для уравнения второго порядка

Пусть в уравнении y'' + p(x)y' + q(x)y = 0 функции p(x),q(x) непрерывны на [a;b], а

y₁ = y₁(x),y₂ = y₂(x) — решения данного уравнения.

Продифференцировав определитель Вронского получим

$\frac{d W}{d x}=\frac{d}{dx}\begin{vmatrix} y_{1} & y_{2} \\ y_{1}' & y_{2}' \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} y_{1}' & y_{2}' \\ y_{1}' & y_{2}' \end{vmatrix}+\begin{vmatrix} y_{1} & y_{2} \\ y_{1}'' & y_{2}'' \end{vmatrix}$

Первое слагаемое равно 0, так как этот определитель содержит 2 одинаковые строки. Подставив

y₁'' = − py₁' − qy₁

y₂'' = − py₂' − qy₂

во второе слагаемое и домножив первую строку на q получим

$\frac{d W}{d x}=\begin{vmatrix} qy_{1} & qy_{2} \\ -py_1'-qy_1 & -py_2'-qy_2 \end{vmatrix}$

Сложив строки, получим

$\frac{d W}{d x}=\begin{vmatrix} qy_{1} & qy_{2} \\ -py_1' & -py_2'\end{vmatrix}=-pW$

решения линейно независимы, поэтому

$W \ne 0 \to \frac{d W}{W}=-p dx$ — дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными.

Интегрируя, получим

$\ln |W|=-\int P(x)dx +\ln|C| \to \ln\left|\frac{W}{C}\right|=-\int P(x)dx \to W=C e^{-\int P(x)dx}$

Доказательство для линейной системы обыкновенных дифференциальных уравнений

Пусть вектор-функции ${\mathbf y}_1(x), {\mathbf y}_2(x), \dots, {\mathbf y}_n(x)$ — решения линейной системы ОДУ. Введем матрицу Φ следующим образом

$\Phi(x) = || \begin{matrix} {\mathbf y}_1(x)& {\mathbf y}_2(x)& \dots& {\mathbf y}_n(x) \end{matrix} ||$

Тогда $W(x) \equiv \det \Phi(x)$. Воспользуемся тем, что y_i(x) - решения системы ОДУ, то есть ${\mathbf y}_i'(x) = A(x){\mathbf y}_i(x)$.

В матричном виде последнее представимо в виде $|| \begin{matrix} {\mathbf y}_1'(x)& {\mathbf y}_2'(x)& \dots& {\mathbf y}_n'(x) \end{matrix} || = || \begin{matrix} A(x){\mathbf y}_1(x)& A(x){\mathbf y}_2(x)& \dots& A(x){\mathbf y}_n(x) \end{matrix} || = A(x) \Phi(x)$

или вводя производную от матрицы как матрицу из производных каждого элемента

$\Phi'(x) = A(x) \Phi(x)\,$

Пусть $\!\varphi_i(x)$ - i-я строка матрицы $\Phi(x)\!$. Тогда

$\varphi_i'(x) = \sum_{j=1}^n a_{ij}(x) \varphi_j(x)\,$

Последнее означает, что производная от i-й строки матрицы $\Phi(x)\!$ есть линейная комбинация всех строк этой матрицы с коэффициентами из i-й строки матрицы $A(x)\!$. Рассмотрим определитель матрицы $\Phi(x)\!$, в которой i-я строка продифференцирована. Определитель не изменится, если из i-й строки этой матрицы вычесть линейную комбинацию всех остальных строк.

$\left| \begin{matrix} \varphi_1(x)\\ \varphi_2(x)\\ \vdots\\ \varphi_i'(x)\\ \vdots\\ \varphi_n(x)\\ \end{matrix} \right| = \left| \begin{matrix} \varphi_1(x)\\ \varphi_2(x)\\ \vdots\\ \sum_{j=1}^n a_{ij}(x)\varphi_j(x)\\ \vdots\\ \varphi_n(x)\\ \end{matrix} \right| = \left| \begin{matrix} \varphi_1(x)\\ \varphi_2(x)\\ \vdots\\ \sum_{j=1}^n a_{ij}(x)\varphi_j(x) -\sum_{j\neq i} a_{ij}(x)\varphi_j(x) \\ \vdots\\ \varphi_n(x)\\ \end{matrix} \right| = \left| \begin{matrix} \varphi_1(x)\\ \varphi_2(x)\\ \vdots\\ a_{ii}(x) \varphi_i(x)\\ \vdots\\ \varphi_n(x)\\ \end{matrix} \right| = a_{ii}(x) W(x)$

Пользуясь формулой дифференцирования определителя, получаем

$W'(x) = a_{11}(x) W(x) + a_{22}(x) W(x) + \dots + a_{nn}(x)W(x) = \mathop{\rm{tr}}A(x)W(x)$

Последнее обыкновенное дифференциальное уравнение имеет решение

$W(x) = W(x_0) e^{\int_{x_0}^x\mathop{\rm{tr}}A(\zeta) d\zeta}$

Доказательство для линейного дифференциального уравнения произвольного порядка

Линейное дифференциальное уравнение n-го порядка

$\!y^{(n)}(x) + P_1(x)y^{(n-1)}(x) + \dots + P_{n-1}(x) y'(x) + P_n(x) y(x) = 0$

эквивалентно следующей системе

$\begin{align} y_{n-1}'(x) &= -P_1(x) y_{n-1}(x) - \dots - P_{n-1}(x) y_1(x) - P_n(x) y_0(x)\\ y_{n-2}'(x) &= y_{n-1}\\ \vdots\\ y_{1}'(x) &= y_{2}\\ y_{0}'(x) &= y_{1}\\ \end{align}$

с матрицей $A(x)\!$ следующего вида

$A(x)=\left( \begin{matrix} 0 & 1 & 0 & \dots & 0\\ 0 & 0 & 1 & \dots & 0\\ 0 & 0 & \ddots & \ddots & 0\\ 0 & 0 & \dots & 0 & 1\\ -P_n(x) & -P_{n-1}(x) & \dots & -P_2(x) & -P_1(x) \\ \end{matrix} \right)$

Вронскианы исходного уравнения и системы совпадают, а след матрицы $A(x)\!$ равен $-P_1(x)\!$. Подстановкой в формулу для системы получаем

$W(x) = W(x_0) e^{-\int_{x_0}^x P_1(\zeta) d\zeta}$

Применение формулы Лиувилля-Остроградского

Пусть известно решение y₁(x) линейного обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка. Используя формулу Лиувилля-Остроградского возможно найти линейно независимое от него решение y₂(x) той же системы.

Распишем вронскиан:

$Ce^{-\int P(x)dx}=y_1y_2'-y_1'y_2=W.$

$\frac{W}{y_1^2}=\frac{y_1y_2'-y_1'y_2}{y_1^2}= \left(\frac{y_2}{y_1}\right)',$ поэтому

$\frac{y_2}{y_1}=\int \frac{W}{y_1^2} dx +B$$\to y_2=y_1\left(\int \frac{W}{y_1^2} dx +B\right)= y_1\int \frac{C e^{-\int P(x)dx}}{y_1^2}dx+B y_1$

Так как для линейной независимости y₁(x) и y₂(x) достаточно $W \neq 0$, приняв $C=1,\, B=0,$ получим $y_2=y_1\int \frac{ e^{-\int P(x)dx}}{y_1^2}dx.$

Пример

Пусть в уравнении $y''-\mathop{ \rm{tg}} x\, y'+2y=0$ известно частное решение $\!y_1=\sin x$. Воспользовавшись формулой Лиувилля-Остроградского, получим

$y_2=\sin x\int \frac{dx}{\sin^2 x e^{-\int \tan x dx}}=\sin x \, \ln \left|\tan x +\frac{1}{\cos x}\right| \, -1.$

Тогда общее решение однородного уравнения $y=C_1\left(\sin x \,\ln \left|\tan x + \frac{1}{\cos x}\right| \, -1\right)+C_2 \sin x$

Используемая литература

• Агафонов С. А.,Герман А. Д.,Муратова Т. В. Дифференциальные уравнения. Учебник для вузов -М. Изд-во МГТУ им. Баумана, 1999.-336с (Серия Математика в техническом университете ;Вып. VIII),Глава 5 параграф 2 .
• Романко В. К. Курс дифференциальных уравнений и вариационного исчисления. - 2-е изд. - М.: Лаборатория Базовых Знаний, 2001 - 344 с.