ЛИУВИЛЛЯ - ОСТРОГРАДСКОГО ФОРМУЛА

Л и у в и л л я формула, - соотношение, связывающее вронскиан системы решений и коэффициенты линейного обыкновенного дифференциального уравнения. Пусть x₁(t), . . ., x_n(t) - произвольная система прешений линейной однородной системы п-го порядка

с непрерывным на интервале I оператором A(t),a

- вронскиан этой системы решений. Л. - О. ф. имеет вид

или, что то же самое,

здесь Sр A (t).- след оператора A(t). Л.-О. ф. можно записать с помощью Коши оператора X(t, t₀).системы (1):

Геометрический смысл соотношения (4) (или (3)) состоит в том, что в результате преобразования ориентированный объем любого тела увеличивается в раз.

Если рассматривается линейное однородное уравнение п-го порядка

с непрерывными на интервале I коэффициентами, причем при то Л.- О. ф. наз. равенство

где W(y₁(t),.-..., y_n(t)).-вронскиан системы n решений y₁(t), ...,y_n(t).уравнения (5). Л.- О. ф. (3), (6) обычно используются в случае, когда рассматриваемая система решений является фундаментальной. Напр., формула (6) позволяет найти в квадратурах общее решение линейного однородного уравнения 2-го порядка, если известно одно его частное нетривиальное решение.

Соотношение (6) для уравнения (5) при п=2 найдено Н. Абелем в 1827 (см. [1]), а при произвольном п - в 1838 Ж. Лиувиллем [2] и М. В. Остроградским [3]; равенство (3) получено Ж. Лиувиллем [2] и К. Якоби [4] (вследствие чего равенство (3) иногда наз. формулой Якоби).

Л.-О. ф. (2) допускает обобщение на нелинейную систему

в предположении, что вектор-функция

и матрица df/dx непрерывны. Если - множество конечной меры а образ этого множества при линейном отображении где X(t, t₀) - оператор Коши системы (7), имеет меру то

Отсюда вытекает теорема Лиувилля о сохранении фазового объема, имеющая важные приложения в теории динамических систем и в статистической механике: поток гладкой автономной системы

не меняет объем любого тела в фазовом пространстве тогда и только тогда, когда div f(x) = 0 при всех х;в частности, фазовый объем сохраняется потоком гамильтоновой системы.

Лит.:[1] Abel N. Н., "J. reine und angew. Math.", 1827, Bd 2, S. 22-30; [2] L i о u v i l l e J., "J. math, pures et appl.", 1838, t. 3, p. 342-49; [3] О с т p о г р а д с к и й М. В., Полн. собр. трудов, т. 3, К., 1901, с. 124-26; [4] Jacobi К., Gesammelte Werke, Bd 4, В., 1886; [5] Понтрягин Л. С., Обыкновенные дифференциальные уравнения, 4 изд., М.,-1974; [6] Арнольд В. И., Обыкновенные дифференциальные уравнения, М., 1971. Н. X. Розов.