Полугруппа операторов

Полугруппа операторов — однопараметрическое семейство линейных ограниченных операторов в банаховом пространстве. Теория полугрупп операторов возникла в середине 20-го века в работах таких известных математиков, как Э.Хилле, Р.Филиппса, К.Иосиды, В.Феллера. Основные применения этой теории: абстрактные задачи Коши, параболические уравнения, случайные процессы.

Определение

Пусть $X$ — банахово пространство. Полугруппой операторов $\{T_t\}_{t\ge0}$ в пространстве $X$ называется семейство ограниченных операторов $T_t:X\to X$, $t\ge0$, удовлетворяющее следующим свойствам:

1) $T_tT_s=T_{t+s}$, где умножение операторов есть композиция этих отображений.

2) $T_0=I$, где $I$ есть единичный оператор в пространстве $X$.

Из определения полугруппы следует, что для любой полугруппы существуют такие константы $M>0, \alpha\in R$, что

$\|T_t\|\le Me^{\alpha t}.$

Генератор полугруппы

Центральным понятием в теории полугрупп операторов является понятие генератора полугруппы. Генератором полугруппы или инфинитезимальным производящим оператором полугруппы $T_t$ называется оператор

$A:X \supset D(A)\to X$

$A\varphi=\lim\limits_{t\to0}\frac{T_t\varphi-\varphi}{t},\ \varphi\in D(A),$

где область определения $D(A)$ определяется как множество таких элементов, что данный предел существует. Генератор полугруппы есть линейный, вообще говоря, неограниченный оператор. Если полугруппа сильнонепрерывна, то область определения генератора является плотной в $X$, а сам генератор есть замкнутый оператор. С другой стороны не каждый замкнутый, плотно определенный оператор является генератором полугруппы. Генератор однозначно определяется по полугруппе;

генератор однозначно определяет полугруппу, если она сильнонепрерывна.

Виды полугрупп

В зависимости от гладкости по параметру рассматриваются различные виды полугрупп.

Полугруппа $T_t$ называется равномернонепрерывной, если выполнено следующее условие:

$\lim\limits_{t\to s}\|T_t-T_s\|=0,$

где предел понимается в смысле операторной топологии.

Полугруппа $T_t$ называется $C_0$-полугруппой или сильно непрерывной полугруппой, если выполнено условие:

$\lim\limits_{t\to s}\|T_t\varphi-T_s\varphi\|_X=0,$

для любого фиксированного элемента $\varphi\in X$.

Большую роль в приложениях играют сжимающие полугруппы. Сильно непрерывная полугруппа называется сжимающей если выполнено следующее условие:

$\|T_t\|\le1.$

Сильно непрерывная полугруппа $T_t$ называется аналитической полугруппой, если она может быть аналитически продолжена в некоторый сектор

$\Delta_\delta=\{\lambda\in C:|arg \lambda|<\delta, Re\lambda>0\},\quad 0<\delta\le\pi/2,$

таким образом, что $T_\lambda$ непрерывна в $\overline{\Delta_\delta}$.

Критерии для генераторов полугрупп

Линейный оператор $A$ в пространстве $X$ порождает равномерно непрерывную полугруппу тогда и только тогда, когда $A$ является ограниченным оператором. От сюда следует, что в конечномерных пространствах все полугруппы являются равномерно непрерывными.

Критерием для генератора сильно непрерывной полугруппы является следующая теорема.

Теорема. Линейный оператор $A$ является генератором сильно непрерывной полугруппы тогда и только тогда, когда выполнены следующие условия:

1) Оператор $A$ замкнутый.

2) Область опеределения $D(A)$ плотно в $X$.

3) Существует такое $\lambda_0$, что все числа $\lambda\le\lambda_0$ являются резольвентными для оператора $A$.

4) Существует такая константа $c_1>0$, что для всех $\lambda>\lambda_0$ выполнено неравенство

$\|(\lambda I-A)^{-k}\|\le\frac{c_1}{(\lambda-\lambda_0)^k},\quad k=1,2,....$

Если вместо условия 4) выполнено условие

$\|\lambda I-A\|\le\frac{1}{\lambda-\lambda_0},$ то оператор $A$ также будет генератором сильно непрерывной полугруппой. В случае $\lambda_0=0$ мы получаем известную теоремы Хилле-Иосиды

Теорема (Хилле-Иосиды). Линейный оператор $A$ является генератором сжимающей полугруппы тогда и только тогда, когда выполнены следующие условия:

1) Оператор $A$ замкнутый.

2) Область опеределения $D(A)$ плотно в $X$.

3) Все числа $\lambda\ge0$ являются резольвентными для оператора $A$.

4) Для всех $\lambda>0$ выполнено неравенство

$\|\lambda I-A\|\le\frac{1}{\lambda},$

Для того, чтобы генератор сильно непрерывной полугруппы $A$ был генератором аналитической полугруппы необходимо потребовать значительно больших условий на спектр оператора $A$.

Оператор $A$ является генератором аналитической полугруппы тогда и только тогда, когда существуют числа $\pi/2<\omega\le\pi$ и $q\ge0$, что множество $\Omega_{q,\omega}=\{\lambda\in C:Re\lambda>\omega,|\lambda|>q\}$ свободно от спектра оператора $A$ и выполнено неравенство

$\|(\lambda I-A)^{-1}\|\le\frac{c_2}{|\lambda|},\quad \lambda\in\Omega_{q,\omega},$ где константа $c_2>0$ не зависит от $\lambda$.

Еще одно эквивалентный критерий для генератора аналитической полугруппы - генератор сильно непрерывной полугруппы является генератором аналитической полугруппы, если

$\|tAT_t\varphi\|_X\le C,\quad \varphi\in X,\ t>0,$

где $C>0$ - константа, независящая от $t$.

Литература

• Pazy A. Semigroups of linear operators and applications to partial differential equations. New York-Berlin-Heidelberg, Springer, 1983.
• Крейн С.Г. Линейные дифференциальные уравнения в банаховом пространстве. - М.: Наука, 1967.
• Хилле Э., Филлипс Р. Функциональный анализ и полугруппы. - М.: ИЛ, 1962.
• Като Т. Теория возмущений линейных операторов. - М.: Мир, 1972.
• Engel K.-J., Nagel R. One-Parameter Semigroups for Linear Evolution Equations. Springer-Verlag, N.Y., 2000.
• Р.В. Шамин. Полугруппы операторов. М.: РУДН, 2008. - 205 с.