Непрерывно дифференцируемая функция

Случай функций одной переменной

В этом случае непрерывно дифференцируемая функция есть дифференцируемая функция, у которой первая производная непрерывна. Такие функции часто называют гладкими функциями.

Рассматривают также дважды непрерывно дифференцируемые функции — функции имеющие непрерывную вторую производную.

Аналогично можно ввести понятие $n$ раз непрерывно дифференцируемых функций.

Если класс непрерывных функций обозначают через $C$ , то класс непрерывно дифференцируемых функций обычно обозначают через $C 1$ , класс $n$ раз непрерывно дифференцируемых функций обозначают через $C n$ .

Случай функций многих переменной

В этом случае понятие непрерывно дифференцируемой функции может рассматриваться в двух видах:

функции, имеющие непрерывные частные производные по каждой из переменных;
функции, имеющие непрерывную производную по любому направлению.

Приближение непрерывно-дифференцируемых функций аналитическими

Пусть $Ω$ открыто в $\mathbb R^n$ и $f\in C^k(\Omega)$ , $0\leq k\leq \infty$ . Пусть ${K p}$ - последовательность компактных подмножеств $Ω$ , такая, что $K_0=\oslash$ , $K_p\subset K^o_{p+1}$ и $\cup K_p=\Omega$ . Пусть ${n p}$ - произвольная последовательность положительных целых чисел и $m p = min(k, n p)$ . Наконец, пусть $\{\varepsilon_p\}$ - произвольная последовательность положительных чисел. Тогда существует $\mathbb R$ -аналитическая функция $g$ в $Ω$ , такая что для всякого $p\geq 0$

$|| f-g ||^{K_{p+1} \backslash K_p}_{m_p}<\varepsilon_p.$

Wikimedia Foundation. 2010.

Игры ⚽ Поможем написать курсовую

Полезное

Смотреть что такое "Непрерывно дифференцируемая функция" в других словарях:

Дифференцируемая функция — [differentiable function] функция, имеющая в каждой точке области, на которой она определена, полный дифференциал, а в случае функции одного переменного производную[1]. Если функция f(x) дифференцируема в точке x, то она и непрерывна в этой точке … Экономико-математический словарь
дифференцируемая функция — Функция, имеющая в каждой точке области, на которой она определена, полный дифференциал, а в случае функции одного переменного производную[1]. Если функция f(x) дифференцируема в точке x, то она и непрерывна в этой точке. Если она дифференцируема … Справочник технического переводчика
Вогнутая функция — Функция(её график выделен синим) выпукла тогда и только тогда когда область над её графиком (закрашено зеленым) является выпуклым множеством. В математике функция называется выпуклой (или выпуклой вниз) на некотором интервале (в общем случае на… … Википедия
Выпуклая функция — Выпуклая функция, её график выделен синим и надграфик закрашен зеленым. Выпуклая функция функция, у которой надграфик является выпуклым множеством … Википедия
Гладкая функция — или непрерывно дифференцируемая функция это функция, имеющая непрерывную производную на всём множестве определения. Основные сведения Рассматривают также гладкие функции высших порядков, а именно, функция с порядком гладкости имеет… … Википедия
Плюригармоническая функция — Плюригармоническая функция такая многомерная, два раза непрерывно дифференцируемая, функция комплексного переменного , что на любой комплексной прямой функция есть гармоническая функция на множестве … Википедия
ЛЯПУНОВА ФУНКЦИЯ — функция, определяемая следующим образов. Пусть х 0 неподвижная точка системы дифференциальных уравнений (т. е. ), где отображение непрерывной непрерывно дифференцируемо по х(здесь U нек рая окрестность точки х 0 в ); в координатах эта система… … Математическая энциклопедия
Гармоническая функция — Гармоническая функция вещественная функция , определенная и дважды непрерывно дифференцируемая на евклидовом пространстве (или его открытом подмножестве), удовлетворяющая уравнению Лапласа: где оператор Лапласа, то есть сумма вторых… … Википедия
ОБОБЩЁННАЯ ФУНКЦИЯ — матем. понятие … Физическая энциклопедия
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ — функция, к рая может быть представлена степенным рядом. Исключит, важность класса А. ф. определяется следующим. Во первых, этот класс достаточно ш и р о к: он охватывает большинство функций, встречающихся в основных вопросах математики и ее… … Математическая энциклопедия

Словари и энциклопедии на Академике

Непрерывно дифференцируемая функция