Метод Куммера

Метод Куммера — в теории числовых рядов способ, позволяющий заменить заданный ряд другим, сходящимся быстрее, предложен Э. Куммером.

Предположим, что имеется сходящийся числовой ряд $a_k$ и требуется найти его сумму с заданной точностью. Для увеличения скорости сходимости этого ряда применяется метод Куммера, который состоит в следующем. Подбирается ряд $b_k$ с известной суммой такой, чтобы разность

$c_k = a_k - b_k = o\,(a_k), \; k \to \infty$

В этом случае величину $S = \sum_{k=0}^\infty a_k$ можно представить в виде суммы $S = \sum_{k=0}^\infty b_k + \sum_{k=0}^\infty c_k$ где ряд $c_k$ сходится быстрее, чем исходный ряд, а сумма ряда $b_k$ — известна. Это означает, что для получения суммы ряда с заданной точностью во втором случае нужно взять меньшее количество членов ряда $c_k$.

Например, для повышения скорости сходимости ряда

$\sum_{k=1}^\infty \tfrac{1}{k^2}$

можно воспользоваться рядом

$\sum_{k=1}^\infty \tfrac{1}{k(k+1)}=\sum_{k=1}^\infty \left(\tfrac{1}{k}-\tfrac{1}{k+1}\right)=1$,

сумма которого известна, и записать

$\sum_{k=1}^\infty \tfrac{1}{k^2}= 1 + \sum\limits_{k=1}^\infty \tfrac{1}{k^2(k+1)}$.

Преобразование Куммера можно применять не ко всем членам исходного ряда, а только к членам ряда, начиная с некоторого места. В этом случае несколько членов исходного ряда остаются без изменения.

Литература

• Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т. 2, п. 415.

Для улучшения этой статьи по математике желательно?: Викифицировать статью. Проставить интервики в рамках проекта Интервики.