ГАУССА СУММА это:

ГАУССА СУММА

- тригонометрическая сумма вида


где - числовой характер по модулю д. Г. с. вполне определяется заданием характера и числа а. Г. с. были рассмотрены К. Гауссом (С. Gauss) в 1811 в случае простого нечетного q=р и характера , где - Лежандра символ. В этом случае


где Исследуя свойства суммы (*) К. Гаусс нашел точное выражение для модуля этой суммы:


Он также решил более трудную задачу определения знака и показал, что


и


К. Гаусс использовал свойства сумм (*) для решения нек-рых задач теории чисел, в частности он применил их в одном из доказательств квадратичного закона взаимности.

Значение Г. с. для теории чисел было выявлено только в 20-е гг. 20 в. В это время Г. Вейль (Н. Weyl) применил для исследования равномерных распределений более общие тригонометрич. суммы, получившие назв. Вейля сумм. В то же время И. М. Виноградов использовал Г. с. для получения оценки сверху наименьшего квадратичного невычета по модулю р. Г. с. позволяют установить связь между двумя важными объектами теории чисел: между мультипликативными характерами и аддитивными характерами


(ради простоты берется только случай простого модуля р). Множество Fвсех комплекснозначных функций f(x).периода робразует p-мерное векторное пространство над полем комплексных чисел. Если определить скалярное произведение в F, положив


то функции составят орто-нормированный базис F. При этом


где Таким образом, Г. с. (с точностью до множителя ) являются координатами в разложении мультипликативного характера по аддитивным характерам . Возможность линейного представления любого характера в виде линейной комбинации экспонент , вытекающая из свойств Г. с. общего вида, лежит в основе вывода функционального уравнения для L-функции.

Эти же соображения существенно используются в методе большого решета при переходе от оценок сумм от аддитивных характеров к оценкам сумм от мультипликативных характеров. Г. с. применяются также для представления L-функций в виде конечных сумм. Такое представление используется в задаче о числе классов дивизоров кругового ноля.

Вопрос о знаке Г. с. , принадлежащей квадратичному характеру, может быть поставлен в более общем виде для Г. с., принадлежащей характеру порядка . Так возникает Куммера гипотеза относительно кубических Г. с. по простому модулю (mod 3) и обобщения этой гипотезы на случай k>3.

Лит.: [1] Карл Фридрих Гаусс. Сб. статей, М., 1956; [2] Виноградов И. М., Метод тригонометрических сумм в теории чисел, М., 1971; [3] Дэвенпорт Г., Мультипликативная теория чисел, пер. с англ., М., 1971; [4] Прахар К., Распределение простых чисел, пер. с нем., М., 1967; [5] Xассе Г., Лекции по теории чисел, пер. с нем., М., 1953.

Б. М. Бредихин.


Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. . 1977—1985.

Смотреть что такое "ГАУССА СУММА" в других словарях:

  • Сумма ряда — Сумма числового ряда определяется как предел, к которому стремятся суммы первых n слагаемых ряда, когда n неограниченно растёт. Если такой предел существует и конечен, то говорят, что ряд сходится, в противном случае  что он расходится[1].… …   Википедия

  • ГАУССА ПРИНЦИП — вариационный принцип механики, устанавливающий одно из общих свойств движения мех. системы с любыми идеальными связями (см. Связи механические). Наз. также принципом наименьшего принуждения, т. к. он содержит в формулировке понятие принуждения ,… …   Естествознание. Энциклопедический словарь

  • Распределение Гаусса — Нормальное распределение Плотность вероятности Красная линия соответствует стандартному нормальному распределению Функция распределения Цвета на этом графике соответствуют графику наверху …   Википедия

  • ДИРИХЛЕ Z-ФУНКЦИЯ — Дирихле L pяд, L p яд, функция комплексного переменного s=s+it, определяемая для всех Дирихле характеровc.mod d рядом Д. L ф .mod dкак функции действительного переменного s введены в 1837 П. Дирихле (P. Dirichlet, см. [1]) в связи с… …   Математическая энциклопедия

  • Лобачевский, Николай Иванович — родился 22 октября 1793 г. в Нижегородской губернии (по одному источнику в Нижнем Новгороде, по другому в Макарьевском уезде). Отец его Иван Максимович, выходец из Западного края, по вероисповеданию католик, потом перешедший в православную веру,… …   Большая биографическая энциклопедия

  • ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ КЛАССИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ — основные, исходные положения аналитич. механики, математически выраженные в форме вариационных соотношений, из к рых как логпч. следствия вытекают дифференциальные уравнения движения, а также все положения и законы механики. В В. п. к. м.… …   Математическая энциклопедия

  • Уравнения Максвелла —     Классическая электродинамика …   Википедия

  • Аксиома параллельности Евклида — Пересечения прямых (анимация) Аксиома параллельности Евклида, или пятый постулат  одна из аксиом, лежащ …   Википедия

  • ГОСТ Р 50779.10-2000: Статистические методы. Вероятность и основы статистики. Термины и определения — Терминология ГОСТ Р 50779.10 2000: Статистические методы. Вероятность и основы статистики. Термины и определения оригинал документа: 2.3. (генеральная) совокупность Множество всех рассматриваемых единиц. Примечание Для случайной величины… …   Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации

  • Эйлерова характеристика — или характеристика Эйлера Пуанкаре характеристика топологического пространства. Эйлерова характеристика пространства обычно обозначается . Содержание 1 Определения 2 Свойства …   Википедия


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»