Унимодулярная матрица

Унимодул́ярная м́атрица — квадратная матрица с целыми коэффициентами, определитель которой равен +1 или -1. Это в точности те невырожденные матрицы A, для которых уравнение Ax = b имеет целочисленное решение для любого целочисленного вектора b.

Свойства

Унимодулярные матрицы образуют группу по умножению, т.е. следующие матрицы являются унимодулярными:

• Единичная матрица
• Обратная к унимодулярной матрице
• Произведение двух унимодулярных матриц

Вполне унимодулярная матрица

Прямоугольная матрица называется вполне унимодулярной (или абсолютно, или тотально унимодулярной), если все её миноры принимают значения из множества {-1, 0, +1}. Иными словами, любая её невырожденная квадратная подматрица унимодулярна.

Вполне унимодулярные матрицы играют важную роль в теории целочисленного линейного программирования: задачи линейного программирования с системой ограничений вида Ax = b, где A вполне унимодулярна, а b — целочисленный вектор, имеют целочисленные базисные допустимые решения, а значит, в частности, могут быть решены стандартным средством линейного программирования — симплекс-методом.

Некоторые примеры вполне унимодулярных матриц:

• матрица инцидентности любого ориентированного графа;
• матрица инцидентности двудольного неориентированного графа;
• частный пример:

  $\begin{bmatrix} -1 & -1 & 0 & 0 & 0 & +1\\ +1 & 0 & -1 & -1 & 0 & 0\\ 0 & +1 & +1 & 0 & -1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & +1 & +1 & -1\\ \end{bmatrix}.$

Унимодулярная полиномиальная матрица

Этот раздел не завершён. Вы поможете проекту, исправив и дополнив его.

Теоремы

Теорема1: Полиномиальная матрица унимодулярна тогда и только тогда, когда все её инвариантные множители равны единице, т.е. когда она эквивалентна единичной матрице.

Теорема 2: Полиномиальная матрица унимодулярна тогда и только тогда, когда она есть произведение матричных элементов.

Литература

• Берж К.. Теория графов и ее применения. Глава 15. М., ИЛ, 1962.
• Пападимитриу Х., Стайглиц К. Комбинаторная оптимизация. Алгоритмы и сложность. 1984.
• Емеличев В.А. Многогранники. Графы. Оптимизация. Глава IV. г. 1981.