Многозначное отображение

Многозначное отображение — разновидность математического понятия отображения (функции). Пусть $X\,$ и $Y\,$ — произвольные множества, а $2^Y\,$ — совокупность всех подмножеств множества $\,Y.$ Многозначным отображением из множества $X\,$ в $Y\,$ называется всякое отображение $F : \ X \to 2^Y.$ Обычно областью определения многозначного отображения $F\,$ является подмножество $X \subset \mathbb{R}^n$, а областью значений — пространство $\Omega(Y) \subset 2^Y,$ состоящее из непустых компактных подмножеств множества $Y \subset \mathbb{R}^m,$ то есть $F: X \to \Omega(Y).$

• Пример 1. Пусть $X = Y = \mathbb{R}$. Ставя в соответствие каждому значению $x \in X$ отрезок $[-|x|,\,|x|],$ мы получаем многозначное отображение $F: \mathbb{R} \to \Omega(\mathbb{R}).$

• Пример 2. Пусть $f: [0,1] \to \mathbb{R}$ — непрерывная функция. Положим $X = [\min f,+\infty)$ и $\,Y = [0,1].$ Ставя в соответствие каждому значению $x\in X$ множество $M(x)=\{y\in [0,1] : f(y)\le x\},$ мы получаем многозначное отображение $F: X \to \Omega(Y).$

• Пример 3. Контингенция и паратингенция.

Многозначные отображения находят приложения в различных областях математики: негладком и выпуклом анализе, теории дифференциальных уравнений, теории управления, теории игр и математической экономике.

Связанные определения и свойства

1. Пространство $\Omega(\mathbb{R}^m)$ является метрическим с метрикой Хаусдорфа. Это позволяет ввести понятие непрерывного многозначного отображения.

2. Рассматривая для каждого $x \in \mathbb{R}^n$ опорную функцию множества $F(x) \in \Omega(\mathbb{R}^m),$ мы получим вещественнозначную функцию $\,c(F(x),\psi)$ от двух аргументов: $x \in \mathbb{R}^n$ и $\psi \in (\mathbb{R}^n)^*$, где звёздочка означает сопряжённое пространство.

3. Многозначное отображение $\,F$ непрерывно тогда и только тогда, когда его опорная функция $\,c(F(x),\psi)$ непрерывна по переменной $\,x$ для каждого фиксированного $\,\psi$.

4. Многозначное отображение называется измеримым, если его опорная функция $\,c(F(x),\psi)$ измерима по переменной $\,x$ для каждого фиксированного $\,\psi$.

5. Однозначной ветвью или селектором многозначного отображения $F: \mathbb{R}^n \to \Omega(\mathbb{R}^m)$ называется такая функция $f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m,$ что $f(x)\in F(x)$ для любого $x \in \mathbb{R}^n.$

6. Лемма Филиппова: у любого измеримого многозначного отображения существует измеримый селектор. Лемма Филиппова имеет многочисленные приложения. В частности, она позволяет установить существование оптимального управления для широкого класса задач в теории управляемых систем.

7. Многозначное отображение $F: X \to \Omega(Y)$ называется полунепрерывным сверху (по включению) в точке $x_0\in X$, если для любой окрестности множества $\,F(x_0) \in \Omega(Y)$ (обозначим её $\,V(F(x_0))$) существует такая окрестность точки $x_0 \in X$ (обозначим её $\,U(x_0)$), что $F(x) \subset V(F(x_0))$ для любого $x \in U(x_0).$ Многозначное отображение $F: X \to \Omega(Y)$ называется полунепрерывным сверху (по включению), если оно является полунепрерывным сверху в каждой точке $x\in X.$ Непрерывное многозначное отображение (определение с помощью метрики Хаусдорфа) является полунепрерывным сверху.

8. Теорема Какутани: Пусть $X \subset \mathbb{R}^n$ — непустое, компактное, выпуклое подмножество и многозначное отображение $F: X \to \Omega(X)$ имеет своими значениями компактные, выпуклые множества и является полунепрерывным сверху по включению. Тогда отображение $\,F$ имеет неподвижную точку $x_* \in X,$ т.е. $x_* \in F(x_*).$ Теорема Какутани имеет многочисленные приложения в теории игр. В частности, с её помощью легко получается доказательство фундаментального результата теории игр — теоремы Нэша о существовании равновесия в бескоалиционной игре.

См. также

• Многозначная функция
• Дифференциальное включение

Литература

• Борисович Ю. Г., Гельман Б. Д., Мышкис А. Д., Обуховский В. В. Введение в теорию многозначных отображений и дифференциальных включений, — Любое издание.
• Благодатских В. И. Введение в оптимальное управление, — Высшая школа, Москва, 2001.
• Благодатских В. И., Филиппов А. Ф. Дифференциальные включения и оптимальное управление, — Тр. МИАН, т.169 (1985).
• Иоффе А. Д., Тихомиров В. М. Теория экстремальных задач, — Физматлит, Москва, 1974.
• Пшеничный Б. Н. Выпуклый анализ и экстремальные задачи, — Наука, Москва, 1980.
• Воробьёв Н. Н. Основы теории игр. Бескоалиционные игры, — Наука, Москва, 1984.