МИЛНОРА СФЕРА

- гладкое многообразие, гомео-морфное (кусочно линейно изоморфное) сфере S", но не диффеоморфное ей. Впервые пример такого многообразия был построен Дж. Милнором в 1956 (см. [1]); этот же пример - первый пример гомеоморфных, но не диффеоморфных многообразий.

Построение М. с. Любое гладкое замкнутое многообразие, гомотопически эквивалентное сфере S", при гомеоморфно (и даже кусочно линейно изоморфно) сфере (см. Пуанкаре гипотеза обобщенная, h-кобпрдизм). Сигнатура замкнутого гладкого почти параллелизуемого многообразия размерности делится на число s_k , экспоненциально растущее с ростом k. Для любого кимеется параллелизуемое многообразие сигнатуры 8 (именно, древовидное многообразие Милнора), край к-рого есть при гомотопическая сфера (см. [2]). Если бы Мбыло диффеоморфно сфере , то многообразие , полученное из добавлением конуса над краем, было бы гладким почти параллелизуемым замкнутым многообразием сигнатуры 8. Таким образом, Месть М. с.

Имеется и др. пример М. с. (см. [5]).

Классификация М. с. Имеется 28 различных (не диффеоморфных) 7-мерных М. с. (в эти 28 многообразий включена стандартная сфера S ⁷, и в дальнейшем термин "М. с." используется и для обозлачения стандартной сферы S ⁿ).

Множество всех гладкостей на кусочно линейной сфере (точнее, сглаживаний, но для сфер это одно и то же) эквивалентно множеству элементов группы Последняя группа при i<7 тривиальна, так что любая М. с. размерности, меньшей 7, диффеоморфна стандартной.

Пусть - множество классов h-кобордантности n-мерных гладких многообразии, гомотопически эквивалентных сфере S ⁿ. Операция связной суммы превращает это множество в группу, где нуль - класс h- кобордантности сферы Sⁿ. При n>5 элементы группы q_n находятся во взаимно однозначном соответствии с классами диффеоморфности n-мерных М. с. Для вычисления групп q_n n>5, задается (см. [3]) тривиализация стабильного нормального расслоения (оснащение) М. с. М ^п. Это возможно, так как М ^п стабильно параллелизуемо. Полученное оснащенное многообразие определяет элемент стабильной гомотопич. группы

Этот элемент зависит, вообще говоря, от выбора оснащения (- "многозначное отображение"). Пусть - подгруппа в , состоящая из М. с, ограничивающих параллелизуемые многообразия. Построенное многозначное отображение индуцирует гомоморфизм где - стационарный Уайтхеда гомоморфизм и -изоморфизм. Вычисление группы сводится к задаче (нерешенной, 1982) вычисления группы и вычисления группы что делается посредством Морса перестроек пленки (при сохранении края). Пусть , то есть и параллелизуемо. Если W- стягиваемое многообразие, то после вырезания в Wмаленького диска многообразие М h -кобордантно , то есть . Если пчетно, то можно так изменить Wпосредством перестроек Морса, что новое многообразие будет стягиваемым (здесь требуется параллелизуемость многообразия Wи условие n>5). Итак,

Случай n+1 = 4k. Если сигнатура s(W). многообразия Wесть 0, то Wможно перестройками Морса превратить в стягиваемое многообразие, так что в этом случае Месть стандартная сфера. Если M=дW и M' = дW, то (здесь - связная сумма многообразий А и В). Если , то , так что инвариант однозначно определяет элемент Если и то делится на . Обратно, для любого существует гладкое замкнутое многообразие с поэтому если и то гле параллелизуемо и

Элемент полностью определяется вычетом , и разные вычеты определяют разные многообразия. Так как принимает любое значение, кратное 8, то

Случай n=4k+1. Пусть . Если Кервера инвариант многообразия Wесть нуль, то есть , то Wперестраивается до стягиваемого многообразия, то есть [M] = 0. Пусть теперь Так как при не существует гладкого замкнутого почти параллелизуемого (что в размерности равносильно параллелизуемости) многообразия с инвариантом Кервера, не равным нулю, то Мне диффеоморфно В этом случае то есть

При и тех значениях i, где существует многообразие с ненулевым инвариантом Кервера, , то есть но вопрос об описании всех таких не решен (1982), хотя при ответ положителен. Итак, есть или 0.

Имеется другое представление М. с. Пусть в пространстве W- алгебраическое многообразие с уравнением

и есть (2п+1)-мерная сфера радиуса e(малого) с центром в начале координат. При подходящих значениях есть М. с. (см. [4]). Напр., при n=4 и a₁=6k-1, а ₂=3, a₃=a₄=a₅=2 и k=1, 2, . . ., 28 получаются все 28 7-мерных М. с.

Лит.:[1] Милнор Дж .,"Математика", 1957, т. 1, № 3, с. 35-42; [2] Мilnоr j., Kervaire М., в кн.: Proceedings of the International Congress of Mathematicians, 1958, Camb., 1960, p. 454 - 58; [3] их же, "Ann. Math.", 1963, v. 77, № 3, p. 504-37: [4] Mилнор Дж., Особые точки комплексных гиперповерхностей, пер. с англ., М., 1971; [5] Милнор Д ж., Сташеф Дж., Характеристические классы, пер. с англ., М., 1979. Ю. Б. Рудяк.