- Изоморфизм графов
-
В теории графов изоморфизмом графов и называется биекция между множествами вершин графов такая, что любые две вершины и графа смежны, тогда и только тогда, когда вершины и смежны в графе . Здесь графы понимаются неориентированными и не имеющими весов вершин и ребер. В случае, если понятие изоморфизма применяется к ориентированным или взвешенным графам, накладываются дополнительные ограничения на сохранение ориентации дуг и значений весов. Если изоморфизм графов установлен, они называются изоморфными и обозначаются как .
Иногда биекция записывается в виде подстановки изоморфизма . Некоторые задачи обработки графов требуют не только проверки изоморфизма, но и выяснения его подстановки.
Отношение изоморфизма графов представляет собой отношение эквивалентности, определенное для графов, и позволяет произвести разбиение исходного класса всех графов на классы эквивалентности. Множество графов, изоморфных друг другу, называется классом изоморфизма графов (англ.), их число в зависимости от представляет собой последовательность A000088 в OEIS (1, 1, 2, 4, 11, 34, 156, 1044, 12346, ...).
В случае, если биекция отображает граф сам на себя (графы и совпадают), она называется автоморфизмом графа .
Содержание
Пример
Два графа, приведенные в примере, являются изоморфными.
Граф Граф Изоморфизм между графами и Подстановка изоморфизма
Изоморфизм графов общего вида
Графы и являются изоморфными, если путем перестановки строк и столбцов матрицы смежности графа удается получить матрицу смежности графа . Однако перебор всех возможных перестановок характеризуется вычислительной сложностью (при условии, что сравнение матриц смежности производится за время, не зависящее от , что обычно несправедливо и дополнительно увеличивает приведенную оценку), что существенно ограничивает применение подобного подхода на практике. Существуют методы ограниченного перебора возможных пар предположительно-изоморфных вершин (аналог метода ветвей и границ), однако они незначительно улучшают приведенную выше асимптотику[1].
Теорема Уитни
Теорема Уитни об изоморфизме графов[2][3], сформулированная Хасслером Уитни в 1932 году, гласит, что два связных графа изоморфны, если и только если их рёберные графы (англ.) изоморфны, за исключением графов (полного графа из 3 вершин) и полного двудольного графа , которые не являются изоморфными, однако оба имеют граф в качестве рёберного графа. Теорема Уитни может быть обобщена для гиперграфов[4].
Инварианты
Существует набор числовых характеристик графов, называемых инвариантами, которые совпадают у изоморфных графов (совпадение инвариантов является необходимым, но не достаточным условием наличия изоморфизма)[5]. К ним относятся число вершин и число дуг/ребер графа G, упорядоченный по возрастанию или убыванию вектор степеней вершин , упорядоченный по возрастанию или убыванию вектор собственных чисел матрицы смежности графа (спектр графа), хроматическое число и др. Факт совпадения инвариантов обычно не несет информации о подстановке изоморфизма.
Инвариант называется полным, если совпадения инвариантов графов необходимо и достаточно для установления изоморфизма. Например, каждое из значений и (мини- и макси-код матрицы смежности) является полным инвариантом для графа с фиксированным числом вершин .
Различные инварианты имеют различную трудоемкость вычисления. В настоящее время полный инвариант графа, вычислимый за полиномиальное время, неизвестен, однако не доказано, что он не существует. Попытки его отыскания неоднократно предпринимались в 60-х — 80-х годах XX века, однако не увенчались успехом.
Модульное произведение Визинга
Модульное произведение графов , предложенное В. Г. Визингом (англ.), позволяет свести задачу проверки изоморфизма к задаче определения плотности графа , содержащего вершин. Если , , то граф содержит подграф, изоморфный графу .
Изоморфизм графов специального вида
Этот раздел не завершён. Вы поможете проекту, исправив и дополнив его.Вычислительная сложность
Хотя задача распознавания изоморфизма графов принадлежит классу NP, неизвестно является ли она NP-полной или принадлежит классу P (при условии, что P ≠ NP). При этом задача поиска изоморфного подграфа (англ.) в графе является NP-полной. Современные исследования направлены на разработку быстрых алгоритмов решения как общей задачи изоморфизма произвольных графов, так и графов специального вида.
Применения
На практике необходимость проверки изоморфизма графов возникает при решении задач хемоинформатики, математической (компьютерной) химии[6], автоматизации проектирования электронных схем (верификация различных представлений электронной схемы)[1], оптимизации программ (выделение общих подвыражений).
См. также
Примечания
- ↑ 1 2 Курейчик В. М., Глушань В. М., Щербаков Л. И. Комбинаторные аппаратные модели и алгоритмы в САПР. — М.: Радио и связь, 1990. — 216 с.
- ↑ H. Whitney (1932). «Congruent graphs and the connectivity of graphs». Am. J. Math. 54: 160-168. DOI:10.2307/2371086.
- ↑ Харари Ф. Теория графов. — М.: Мир, 1973. (Изд. 3, М.: КомКнига, 2006. — 296 с.)
- ↑ Dirk L. Vertigan, Geoffrey P. Whittle (1997). «A 2-Isomorphism Theorem for Hypergraphs». J. Comb. Theory, Ser. B 71 (2): 215-230. DOI:10.1006/jctb.1997.1789.
- ↑ Зыков А. А. Основы теории графов. — М.: Наука, 1986. — 384 с. — ISBN 978-5-9502-0057-1
- ↑ Трофимов М. И., Смоленский Е. А. Применение индексов электроотрицательности органических молекул в задачах химической информатики // Известия Академии наук. Серия химическая. — 2005. — С. 2166—2176.
Категория:- Теория графов
Wikimedia Foundation. 2010.