Закон квадрата

Закон квадрата — куба представляет собой принцип, применяемый в технике и биомеханике, и базируется на математическом пересчете размеров. Он был впервые продемонстрирован в 1638 г. Галилео Галилеем в "Discorsi e Dimostrazioni Matematiche, intorno a due nuove scienze («Беседы и математические доказательства двух новых наук»), 1638";. Он гласит

Когда объект подвергается пропорциональному увеличению размеров, его новый объем будет пропорционален кубу множителя, а новая площадь его поверхности пропорциональна квадрату множителя.

$v_2=v_1\left(\frac{\ell_2}{\ell_1}\right)^3$

где $v_1$ — объём исходного объекта, $v_2$ — новый объём, $\ell_1$- линейный размер исходного объекта, а $\ell_2$ — новый линейный размер. Заметьте, что не имеет значения, какой линейный размер используется.

$A_2=A_1\left(\frac{\ell_2}{\ell_1}\right)^2$

где $A_1$ — площадь поверхности исходного объекта, а $A_2$ — новая площадь поверхности.

Например, куб с длиной стороны 1 метр имеет площадь поверхности 6 м² и объём 1 м³. Если длину стороны удвоить, площадь его поверхности увеличится до 24 м², а его объём увеличится до 8 м³. Этот принцип применим ко всем телам.

Техника

Если физический объект увеличить в размерах при сохранении неизменной плотности материала, из которого он изготовлен, его масса увеличится пропорционально произведению массы и коэффициента увеличения в третьей степени, в то время как площадь его поверхности — только в квадрате масштабного множителя. Это должно означать, что в том случае, если увеличенному в размерах объекту сообщить то же ускорение, что и оригиналу, на поверхность увеличившегося объекта будет действовать большее давление

Давайте рассмотрим простой пример — тело массой = M имеет ускорение = a и площадь поверхности = A , на которую действует ускоряющая сила.

Сила, вызванная ускорением: F = M*a, а давление на поверхность T = F/A = M*a/A

Теперь рассмотрим объект, размеры которого умножены на коэффициент = x так, чтобы его новая масса M' = x3*M, а поверхность, на которую действует сила, имеет новую площадь, A' = x2*A.

Новая сила, вызванная ускорением F' = x³*M*a и

Результирующее давление на поверхность

                          T' = F'/A'
                                = x3*M*a/(x2*A)
                                = x*(M*a/A)
                                = x*T

Таким образом, при простом увеличении размеров объекта с сохранением того же самого материала конструкции (плотности), и при том же самом ускорении, давление, производимое им на поверхность, увеличится во столько же раз. Это показывает, что способность сопротивляться напряжению у объекта снизится и он станет более склонен к разрушению в процессе ускорения.

Это и есть объяснение тому, почему большие транспортные средства плохо выдерживают испытания на разрушения при столкновениях и почему есть пределы высоты строительства высотных зданий. Аналогично, чем больше размер объекта, тем меньше другие объекты окажут сопротивление движению, вызывая его замедление

Биомеханика

Если размеры животного значительно увеличить, его мускульная сила серьёзно уменьшится, так как поперечное сечение его мускулов увеличится пропорционально квадрату коэффициента масштабирования, в то время как его масса увеличится пропорционально кубу коэффициента масштабирования. В результате этого сердечно-сосудистые функции сильно ограничатся. Для летающих животных, если их увеличить в размерах, их нагрузка на крылья должна возрасти, и поэтому им, чтобы сохранять ту же подъемную силу, придется лететь быстрее,. Это будет нелегко ввиду того, что сила мускулов станет меньше. Это также объясняет, почему шмель может иметь большой размер тела относительно размаха его крыльев, что невозможно для большего летающего животного. Для животных малых размеров сопротивление воздуха на единицу массы также выше, что объясняет, отчего маленькое насекомое, такое, как муравей, не погибнет, падая с любой высоты.

По этой причине гигантские насекомые, пауки и другие животные, показываемые в фильмах ужасов — нереальны, поскольку такие крупные размеры вызвали бы их разрушение. Исключением являются гигантские водные животные, поскольку вода способна поддерживать такие огромные существа.

Тепловые процессы

Закон квадрата-куба применим также и к тепловым процессам. Поверхность теплообмена возрастает пропорционально квадрату размера, а объём, содержащий или генерирующий теплоту - пропорционально кубу. Следовательно, теплопотери в расчёте на единицу объёма объекта уменьшаются при увеличении его размеров и, наоборот, увеличиваются при уменьшении размеров. Поэтому, например, энергия, необходимая для обогрева или охлаждения единицы объёма склада, уменьшается с ростом размеров склада.

В технике

Закон имеет очень широкое применение в технике. К примеру, он является единственной причиной того, что для создания самолетов вдвое бОльшей грузоподъемности было бессмысленно (и никогда не применялось) удвоение всех размеров на всех чертежах самолета - запрет на прямое масштабирование наложен законом квадрата-куба.

Интересным примером непонимания данного закона уже в наше время является история создания двигателя для а/м "Запорожец". Данный двигатель был скопирован удвоением всех основных размеров небольшого двухцилиндрового пускового двигателя с немецких бомбардировщиков времен II Мировой войны. Это безграмотное решение привело к целой лавине негативных эффектов, от несоответствия массы балансиров шатунов требуемой, до большой избыточной толщины стенок цилиндров, впоследствии растачивавшихся любителями до фантастических диаметров.

В живых существах

Данная статья представляет собой несколько доработанный перевод статьи из английской Википедии Square-Cube Law с добавлением текста о тепловых процессах

См. также

Биомеханика

Allometric law (англ.)

On Being the Right Size (англ.)

Ссылки

Wayne Throop. «Sauropods, Elephants, Weightlifters: Miscellaneous Issues» (англ.).

«World Builders: The Limits to Animal Size — Size to Volume Ratio». (англ.)

Michael C. LaBarbera. «The Biology of B-Movie Monsters»(англ.)