Дерево Штерна

Дерево Штерна — Броко — способ расположения всех неотрицательных несократимых дробей в вершинах упорядоченного бесконечного двоичного дерева.

В каждом узле дерева Штерна — Броко (иногда также называемого деревом Фарея) стоит медианта $\frac{m+m'}{n+n'}$ дробей $\frac{m}{n}$ и $\frac{m'}{n'}$, стоящих в ближайших к этому узлу левом и правом верхних узлах. Начальный кусок дерева Штерна — Броко в этом случае выглядит так:

Близким по построению к дереву Штерна — Броко является дерево Калкина — Уилфа, в котором дробь $\frac{1}{1}$ является корнем, а все прочие узлы заполняются по следующему алгоритму: каждая вершина $\frac{m}{n}$ имеет двух потомков: левого $\frac{m}{m+n}$ и правого $\frac{m+n}{n}$.

История

В книге Р. Грэхема, Д. Кнута, О. Паташника Конкретная математика открытие «дерева Штерна — Броко» связывается с именами Морица Штерна (1858) и Ахилла Броко (1860). Однако аналогичное построение в форме «дерева Калкина-Уилфа» было известно ещё древнегреческим математикам. Оно описано под именем «порождения всех отношений из отношения равенства как из матери и корня» в двух математических обзорах II в. н. э., принадлежащих Никомаху Герасскому и Теону Смирнскому. Теон сообщает, что эта конструкция была известна Эратосфену Киренскому — знаменитому учёному, жившему в III в. до н. э.

Свойства

• Все дроби в деревьях Калкина — Уилфа и Штерна — Броко несократимы;
• Каждая несократимая дробь появляется в дереве ровно один раз.

Для дерева Калкина — Уилфа эти свойства легко доказываются, если заметить, что каждому шагу по дереву в направлении к корню соответствует элементарный шаг вычитания меньшего числа из большего в алгоритме Евклида для поиска наибольшего общего делителя.

Для дерева Штерна — Броко доказательство основано на следующей лемме: если $p_1/q_1<p_2/q_2$ — дроби в двух соседних узлах дерева, то $q_1p_2-q_2p_1=1$.

Система счисления Штерна — Броко

Можно воспользоваться символами L и R для идентификации левой и правой ветви при продвижении вниз по дереву от корня, дроби 1/1, к некоторой определённой дроби. Тогда каждая положительная дробь получает единственное представление в виде строки состоящей из символов «R» и «L» (дроби 1/1 соответствует пустая строка). Такое представление положительных рациональных чисел назовём системой счисления Штерна — Броко. К примеру, обозначение LRRL соответствует дроби 5/7.

См. также

• Ряд Фарея
• Цепная дробь
• Подходящая дробь
• Система счисления
• Алгоритм Евклида
• Дерево Калкина — Уилфа

Литература

• Айгнер М., Циглер Г. Доказательства из Книги. Лучшие доказательства со времён Евклида до наших дней. — М.: Мир, 2006. — С. 105—109. — 256 с. — ISBN 5-03-003690-3.
• Грэхем Р., Кнут Д., Паташник О. Конкретная математика. Основание информатики. — М.: Мир, 1998. — 704 с. — ISBN 5-03-001793-3.
• Щетников А. И. Алгоритм разворачивания всех числовых отношений из отношения равенства и идеальные числа Платона // ΣΧΟΛΗ. — 2008. — Т. 2. — С. 55—74. — ISSN 1995-4328.
• Brocot A. Calcul des rouages par approximation, nouvelle méthode // Revue Chonométrique. — 1861. — Т. 3. — С. 186—194.
• Stern M. Über eine zahlentheoretische Funktion // Journal für die reine und angewandte Mathematik. — 1858. — Т. 55. — С. 193—220.

Ссылки

• The Stern — Brocot or Farey Tree (англ.)
• Кноп К. Недвоичная система // Домашний компьютер. — 2001. — № 8.
• Онлайн-демонстратор приближения рациональных чисел при помощи дерева Штерна — Броко