Двойственность Пуанкаре

В математике, теорема двойственности Пуанкаре, названная в честь французского математика Анри Пуанкаре, является основным результатом о структуре групп гомологий и когомологий многообразия. Она утверждает, что все k-е группы когомологий n-мерного ориентируемого замкнутого многообразия M изоморфны (n − k)-м группам гомологий M :

$H^k(M) \cong H_{n-k}(M).$

История

Первоначальный вариант теоремы двойственности был сформулирован Пуанкаре без доказательства в 1893 году. Когомологии были изобретены лишь спустя два десятилетия после его смерти, поэтому идею двойственности он сформулировал в терминах чисел Бетти: k-е и (n − k)-е числа Бетти замкнутого (компактного без границы) ориентируемого n-мерного многообразия равны:

$b_k(M)=b_{n-k}(M).$

Позже Пуанкаре дал доказательство этой теоремы в терминах двойственных триангуляций^[1][2].

Современная формулировка

Современная формулировка двойственности Пуанкаре включает понятия гомологий и когомологий: если M — замкнутое ориентируемое n-мерное многообразие, k — целое число, то существует канонический изоморфизм k-й группы когомологий H^k(M) в (n − k)-ю группу гомологий H_n − k(M):

$D:H^k(M)\to H_{n-k}(M)$.

Этот изоморфизм определяется фундаментальным классом многообразия $[M]$:

$D(\alpha)=[M]\frown\alpha$,

где $\alpha\in H^k(M)$ — коцикл, $\frown$ обозначает $\frown$-умножение гомологических и когомологических классов. Здесь приведены гомологии и когомологии с коэффициентами в кольце целых чисел, но изоморфизм имеет место и для произвольного кольца коэффициентов.

Для некомпактных ориентируемых многообразий когомологии в этой формуле необходимо заменить на когомологии с компактным носителем.

Для $k<0$ группы гомологий и когомологий, по определению нулевые, соответственно, согласно двойственности Пуанкаре, группы гомологий и когомологий при $k>n$ на n-мерном многообразии являются нулевыми.

Билинейное спаривание

Пусть M замкнутое ориентируемое многообразие, обозначим через $\tau H_k (M)$ кручение группы $H_k (M)$, и $fH_k (M) = H_k (M) / \tau H_k (M)$ ее свободную часть; все группы гомологий берутся с целыми коэффициентами. Существуют билинейные отображения:

$fH_k (M) \otimes fH_{n-k} (M) \to \Bbb Z$

и

$\tau H_k (M) \otimes \tau H_{n-k-1} (M) \to \Bbb Q / \Bbb Z.$

(Здесь $\Bbb Q / \Bbb Z$ — аддитивная факторгруппа группы рациональных чисел по целым.)

Первая форма называется индексом пересечения, вторая — коэффициентом зацепления. Индекс пересечения определяет невырожденную двойственность между свободными частями групп $H_k(M)$ и $H_{n-k}(M)$, коэффициент зацепления — между кручениями групп $H_k (M)$ и $H_{n-k-1} (M)$.

Утверждение о том, что эти билинейные спаривания определяют двойственность, означает, что отображения

$fH_k (M) \to \mathrm{Hom}_{\Bbb Z}(fH_{n-k} (M),\Bbb Z)$

и

$\tau H_k (M) \to \mathrm{Hom}_{\Bbb Z}(\tau H_{n-k-1} (M), \Bbb Q/\Bbb Z)$

являются изоморфизмами групп.

Этот результат является следствием двойственности Пуанкаре $H_k (M) \simeq H^{n-k} (M)$ и теоремы об универсальных коэффициентах, которые дают равенства $fH^{n-k} (M) \equiv \mathrm{Hom}(H_{n-k} (M); \mathbb Z)$ и $\tau H^{n-k} (M) \equiv \mathrm{Ext}(H_{n-k-1} (M); \mathbb Z) \equiv \mathrm{Hom}(\tau H_{n-k-1} (M); \mathbb Q/\mathbb Z)$. Таким образом, группы $fH_k (M)\simeq fH_{n-k} (M)$ являются изоморфными, хотя и не существует естественного изоморфизма, и, аналогично, $\tau H_k (M)\simeq \tau H_{n-k-1} (M)$.

Ссылки

1. ↑ Henri Poincaré, Complément à l'Analysis Situs, Rendiconti del Circolo matematico di Palermo, 13 (1899) pages 285-343
2. ↑ Henri Poincaré, Second complément à l'Analysis Situs, Proceedings of the London Mathematical Society, 32 (1900), pages 277-308

Литература

• Дольд А. Лекции по алгебраической топологии. — М.: Мир, 1976
• Фоменко А. Т., Фукс Д. Б. Курс гомотопической топологии. — М.: Наука, 1989