Гиперэкспоненциальное распределение

В теории вероятностей, гиперэкспоненциальное распределение — абсолютно непрерывное распределение, при котором плотность вероятности случайной величины $X$ выражается как

$f_X(x) = \sum_{i=1}^n f_{Y_i}(y) p_i,$

где $Y_i$ — экспоненциально распределенная случайная величина с параметром $\lambda\,_i$, и $p_i$ — вероятность того, что X будет иметь экспоненциальное распределение с параметром $\lambda\,_i$. Оно названо гиперэкспоненциальным распределением, так как его коэффициент вариации больше коэффициента вариации экспоненциального распределения (1) и гипоэкспоненциального распределения, у которого коэффициент вариации меньше единицы. Хотя экспоненциальное распределение — непрерывный аналог геометрического распределения, гиперэкспоненциальное распределение не является аналогом гипергеометрического распределения. Гиперэкспоненциальное распределение — пример распределения со смешанной плотностью.

Пример случайной величины, распределённой по гиперэкспоненциальному закону, можно найти в телефонии: при наличии модема и телефона использование телефонной линии может моделироваться гиперэкспоненциальным распределением с заданной вероятностью разговора по телефону p с битрейтом $\lambda\,_1$ и вероятностью соединения по модему q с битрейтом $\lambda\,_2.$

Свойства гиперэкспоненциального распределения

Поскольку математическое ожидание суммы есть сумма математических ожиданий, математическое ожидание гиперэкспоненциально распределённой случайной величины

$E(X) = \int_{-\infty}^\infty x f(x) dx= p_1\int_0^\infty x\lambda\,_1e^{-\lambda\,_1x} dx+ p_2\int_0^\infty x\lambda\,_2e^{-\lambda\,_2x} dx+ \cdots + p_n\int_0^\infty x\lambda\,_ne^{-\lambda\,_nx} dx$

$= \sum_{i=1}^n \frac{p_i}{\lambda\,_i}$

и

$E(X^2) = \int_{-\infty}^\infty x^2 f(x) \, dx = p_1\int_0^\infty x^2\lambda\,_1e^{-\lambda\,_1x} \, dx + p_2\int_0^\infty x^2\lambda\,_2e^{-\lambda\,_2x} \, dx+ \cdots + p_n\int_0^\infty x^2\lambda\,_ne^{-\lambda\,_nx}\, dx,$

$= \sum_{i=1}^n \frac{2}{\lambda\,_i^2}p_i,$

Производящая функция моментов

$E(e^{tx}) = \int_{-\infty}^\infty e^{tx} f(x) dx= p_1\int_0^\infty e^{tx}\lambda\,_1e^{-\lambda\,_1x} dx+ p_2\int_0^\infty e^{tx}\lambda\,_2e^{-\lambda\,_2x} dx+ \cdots + p_n\int_0^\infty e^{tx}\lambda\,_ne^{-\lambda\,_nx} dx$

$= \sum_{i=1}^n \frac{\lambda\,_i}{\lambda_i - t}p_i.$

	п·Вероятностные распределения
	Одномерные	Многомерные
Дискретные:	Бернулли | биномиальное | геометрическое | гипергеометрическое | логарифмическое | отрицательное биномиальное | Пуассона | дискретное равномерное	мультиномиальное
Абсолютно непрерывные:	Бета | Вейбулла | Гамма | гиперэкспоненциальное | Колмогорова | Коши | Лапласа | логнормальное | нормальное (Гаусса) | логистическое | Накагами |Парето | полукруговое | непрерывное равномерное | Райса | Рэлея | Стьюдента | Фишера | хи-квадрат | экспоненциальное | variance-gamma	многомерное нормальное | копула