- Формула Бине-Коши
-
Формула Бине-Коши
Формула Бине—Коши — теорема об определителе произведения двух прямоугольных матриц, при условии, что оно является квадратной матрицей. Доказана в начале XIX века французскими математиками Бине и Коши.
Произведение двух прямоугольных матриц и дает квадратную матрицу порядка , если имеет столбцов и строк, а матрица имеет столбцов и строк. Миноры матриц и одинакового порядка, равного наименьшему из чисел и , называются соответствующими друг другу, если они стоят в столбцах (матрицы ) и строках (матрицы ) с одинаковыми номерами.
Определитель матрицы равен нулю, если , и равен сумме попарных произведений соответствующих друг другу миноров порядка , если (сумма берется по всем наборам столбцов матрицы и строк матрицы с возрастающими номерами ).
- В случае формула очевидна. Действительно, так как столбцы матрицы являются линейными комбинациями столбцов матрицы , то в случае, когда число столбцов матрицы больше числа столбцов матрицы , матрица , очевидно, является вырожденной (т.е. её определитель равен нулю).
- В случае формула Бине—Коши принимает хорошо известный вид: .
- В случае доказательство формулы Бине—Коши более сложно.
Пример
Пусть
Тогда
и соответствующие миноры имеют вид при всех i < j, принимающих значения от 1 до n.
Формула Бине—Коши в этом случае дает равенство
из которого (в случае, когда все ai и bi являются вещественными числами) вытекает неравенство Коши — Буняковского:
Литература
- Гантмахер Ф. Р. Теория матриц, — Наука, Москва, 1966.
- Фаддеев Д. К. Лекции по алгебре, — Наука, Москва, 1984.
- Шафаревич И. Р., Ремизов А. О. Линейная алгебра и геометрия, — Физматлит, Москва, 2009.
Wikimedia Foundation. 2010.