Уравнение Мещерского

Уравнение Мещерского — основное уравнение в механике тел переменной массы, полученное И. В. Мещерским для материальной точки переменной массы (состава)

Уравнение обычно записывается в следующем виде:

$m\frac{d\mathbf v }{dt}=\mathbf u_1\frac{dm_1}{dt}- \mathbf u_2\frac{dm_2}{dt}+\mathbf F$,

где:

• m — масса материальной точки переменной массы, меняющаяся за счет обмена частицами с окружающей средой;
• $\mathbf v$ — скорость движения материальной точки переменной массы;
• $\mathbf F$ — внешние силы, действующие на материальную точку переменной массы со стороны ее внешнего окружения (в том числе, если такое имеет место, и со стороны среды, с которой она обменивается частицами, например электромагнитные силы — в случае массообмена с магнитной средой, сопротивление среды движению и т. п.);
• $\mathbf u_1=\mathbf v_1-\mathbf v$ — относительная скорость присоединяющихся частиц;
• $\mathbf u_2=\mathbf v_2-\mathbf v$ — относительная скорость отделяющихся частиц;
• $\frac{dm_1}{dt}>0$, $\frac{dm_2}{dt}>0$  — скорости массообмена присоединяющихся и отделяющихся частиц;

Формула Циолковского может быть получена как результат решения этого уравнения.

Уравнение Мещерского является следствием законов механики Ньютона (в частности, второго закона Ньютона) и ряда допущений о процессе движения материальной точки переменной массы . При этом величина:

$\mathbf F_r=\mathbf u_1\frac{dm_1}{dt}-\mathbf u_2\frac{dm_2}{dt}$

называется «реактивной силой».

Вывод уравнения Мещерского  

Рассмотрим производную импульса при $m\neq \mathrm{const}$. При этом учтем, что импульс $\vec{p}$ системы складывается из разности:

$\vec{p}=\vec{p}_0-(\vec{p}_1+\vec{p}_2)$,

где

• $\vec{p}_0=m\vec{v}$ — импульс основного тела;
• $\vec{p}_1=m_1\vec{v}_1$ — импульс отделяющихся частей;
• $\vec{p}_2=m_2\vec{v}_2$ — импульс присоединяющихся частей.

Продифференцируем результирующий импульс:

$\frac{d\vec{p}}{dt}=\frac{d}{dt}(m\vec{v}-m_1\vec{v}_1-m_2\vec{v}_2)=m\frac{d\vec{v}}{dt}+\vec{v}\frac{dm}{dt}-\vec{v}_1\frac{dm_1}{dt}-\vec{v}_2\frac{dm_2}{dt}-m_1\frac{d\vec{v}_1}{dt}-m_2\frac{d\vec{v}_2}{dt}$

Сделаем несколько допущений:

• Будем считать скорость присоединяющихся и отделяющихся частиц постоянной. В этом случае:

$\frac{d\vec{v}_1}{dt}=\frac{d\vec{v}_2}{dt}=0$

• Масса основного тела из-за присоединения и отделения частиц изменяется линейно:

$m=m_0+Ct$,

где

• $m_0$ — масса основного тела в начальный момент времени;
• $C=\frac{dm}{dt}=\frac{dm_1}{dt}+\frac{dm_2}{dt}$ — изменение массы основного тела за единицу времени.

Тогда:

$\frac{d\vec{p}}{dt}=m\frac{d\vec{v}}{dt}+\vec{v}\left(\frac{dm_1}{dt}+\frac{dm_2}{dt}\right)-\vec{v}_1\frac{dm_1}{dt}-\vec{v}_2\frac{dm_2}{dt}=m\frac{d\vec{v}}{dt}+(\vec{v}-\vec{v}_1)\frac{dm_1}{dt}+(\vec{v}-\vec{v}_2)\frac{dm_2}{dt}$

Введя относительные скорости частиц $\vec{u}_1,\vec{u}_2$ и добавив равнодействующую внешних сил, получим уравнение Мещерского.

История открытия

Уравнение движения материальной точки переменной массы для случая присоединения (или отделения) частиц было получено и основательно исследовано в магистерской диссертации И. В. Мещерского, защищенной в Петербургском Университете 10 декабря 1897 года^[1]. Первое сообщение об уравнении движения материальной точки переменной массы в общем случае одновременного присоединения и отделения частиц было сделано И. В. Мещерским 24 августа 1898 года на заседании секции математики и астрономии X съезда русских естествоиспытателей и врачей в Киеве, широкую известность оно получило позднее, после работы «Уравнения движения точки переменной массы в общем случае», напечатанной в «Известиях Петербургского политехнического института» в 1904 году^[2].

Следует отметить, что по исследованиям Г. К. Михайлова, изложенных в его докторской диссертации^[3] и работе «Георг Бюкуа и начала динамики систем с переменными массами»^[4], аналогичное уравнение было установлено чешским учёным-любителем Георгом Бюкуа (1781—1851) еще в работах 1812—1814 гг.

Примечания

1. ↑ Мещерский И. В. Работы по механике тел переменной массы. — М.: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1952. — С. 37.
2. ↑ Мещерский И. В. Работы по механике тел переменной массы. — М.: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1952. — С. 222.
3. ↑ Развитие основ динамики системы переменного состава и теории реактивного движения. — М.: 1977
4. ↑ «Исследования по истории физики и механики». Москва: Наука, 1986, с. 191—238

Литература

• Механика тел переменной массы — статья из Физической энциклопедии

Ссылки

• В. Н. Бородовский Отечественные ракеты. История и будущее