Неравенство Гёльдера

Нера́венство Гёльдера в функциональном анализе и смежных дисциплинах — это фундаментальное свойство пространств $L^p$.

Формулировка

Пусть $(X,\mathcal{F},\mu)$ — пространство с мерой, а $L^p \equiv L^p(X,\mathcal{F},\mu)$ — пространство функций вида $f:X \to \mathbb{R}$ с конечной интегрируемой $p$-ой степенью. Тогда в последнем определена норма:

$\|f\|_p = \left( \; \int\limits_X |f(x)|^p\, \mu(dx)\; \right)^{1/p}$,

где $p \ge 1$ , обычно подразумевается, что это натуральное число.

Пусть $f \in L^p$, а $g \in L^q$, где $p,q \ge 1,\; 1/p + 1/q = 1$. Тогда $f \cdot g \in L^1$, и

$\|f \cdot g\|_1 \le \|f\|_p \cdot \|g\|_q$.

Доказательство

Докажем следующую формулировку неравенства Гёльдера(она равносильна вышенаписанной):
$\,\!X$ - пространство с мерой $\,\!\mu$, $E \subset X$, $\,\!E$ измеримо
$f \in L^{p}, g \in L^{q}, p > 1, \dfrac{1}{p} + \dfrac{1}{q} = 1 \Rightarrow \int\limits_E |fg| \, d\mu < +\infty ,\; \left|\int\limits_E fg \, d\mu \right| \leq \left(\int\limits_E |f|^{p} \, d\mu\right)^{1/p} \left(\int\limits_E |g|^{q} \, d\mu\right)^{1/q}$

Доказательство:
Воспользуемся следующим утверждением (неравенство Юнга):
$a, b \geq 0, p > 1, \dfrac{1}{p} + \dfrac{1}{q} = 1 \Rightarrow a^{1/p} b^{1/q} \leq \dfrac{a}{p} + \dfrac{b}{q}$

Положим
$a = \dfrac{|f(x)|^{p}}{\int\limits_E |f|^{p} d\mu} \quad b = \dfrac{|g(x)|^{q}}{\int\limits_E |g|^{q} d\mu} \quad I_1 = \int\limits_E |f|^{p} d\mu > 0 \quad I_2 = \int\limits_E |g|^{q} d\mu > 0$

Применяя неравенство, получаем:
$|f(x) g(x)| \leq I_1^{1/p} I_2^{1/q} \left( \dfrac{|f(x)|^{p}}{p \cdot I_1} + \dfrac{|g(x)|^{q}}{q \cdot I_2} \right)$

Так как правая часть неравенства суммируема по множеству $\,\!E$ (отсюда вытекает и суммируемость левой части), и модуль интеграла не превосходит интеграла модуля, можем проинтегрировать неравенство по $\,\!E$ и записать:
$\left|\int\limits_E f g \, d\mu\right| \leq \int\limits_E |f g| \, d\mu \leq I_1^{1/p} I_2^{1/q} \left(\dfrac{1}{p}+\dfrac{1}{q}\right) = I_1^{1/p} I_2^{1/q}$
Неравенство Гельдера доказано.
Примечание: Если $\,\!I_1$ или $\,\!I_2$ равен 0, то это значит, что $\,\!f$ или $\,\!g$ эквивалентны нулю на $\,\!E$, и неравенство Гёльдера очевидно выполняется.

Частные случаи

Неравенство Коши — Буняковского

Положив $p = q = 2$, получаем неравенство Коши — Буняковского для пространства $L^2$.

Евклидово пространство

Рассмотрим Евклидово пространство $E = \mathbb{R}^n$ или $\mathbb{C}^n$. $L^p$-норма в этом пространстве имеет вид:

$\| x\|_p = \left( \sum\limits_{i=1}^n |x_i|^p \right)^{1/p},\; x = (x_1 ,\ldots, x_n)^{\top}$,

и тогда

$\sum\limits_{i=1}^n |x_i \cdot y_i| \le \left( \sum\limits_{i=1}^n |x_i|^p \right)^{1/p} \cdot \left( \sum\limits_{i=1}^n |y_i|^q \right)^{1/q},\; \forall x,y \in E$.

Пространство l^p

Пусть $X = \mathbb{N},\, \mathcal{F} = 2^{\mathbb{N}},\, m$ — счётная мера на $\mathbb{N}$. Тогда множество всех последовательностей $\{x_n\}_{n=1}^{\infty}$, таких что:

$\|x\|_p = \sum_{n=1}^{\infty} |x_n|^p < \infty$,

называется $l^p$. Неравенство Гёльдера для этого пространства имеет вид:

$\sum\limits_{n=1}^{\infty} |x_n \cdot y_n| \le \left( \sum\limits_{n=1}^{\infty} |x_n|^p \right)^{1/p} \cdot \left( \sum\limits_{n=1}^{\infty} |y_n|^q \right)^{1/q},\; \forall x \in l^p, y\in l^q$.

Вероятностное пространство

Пусть $(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P})$ — вероятностное пространство. Тогда $L^p(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P})$ состоит из случайных величин с конечным $p$-м моментом: $\mathbb{E}\left[|X|^p\right] < \infty$, где символ $\mathbb{E}$ обозначает математическое ожидание. Неравенство Гёльдера в этом случае имеет вид:

$\mathbb{E}|XY| \le \left(\mathbb{E}|X|^p\right)^{1/p} \cdot \left( \mathbb{E}|Y|^q \right)^{1/q},\; \forall X \in L^p, Y \in L^q$.

См. также

• Пространство Lp
• Неравенство Йенсена
• Гёльдер, Отто
• Неравенство Юнга
• Неравенство Минковского

Литература

• Соболев С.Л. Некоторые применения функционального анализа в математической физике. — 3-е изд., переработанное и дополненное. — М: Наука, 1988. — 336 с. — ISBN 5-02-013756-1
• Вулих Б.З. Краткий курс теории функции вещественной переменной. — 2-е изд., переработанное и дополненное. — М: Наука, 1973. — 352 с.

Ссылки