- Признак Жамэ
-
Признак Жамэ — признак сходимости числовых рядов с положительными членами, установленный Пьером Жамэ.
Содержание
Формулировка
Ряд сходится, если при выполняется неравенство:
где .
Если же , при , то ряд расходится.
Доказательство[1]1. Пусть для ряда выполняется условие:
- .
Преобразуем это неравенство к виду:
- .
Поскольку всегда можно найти достаточно большое такое, что:
- ,
то можно перейти к выражению:
- .
Применив разложение функции в ряд Маклорена с остаточным членом в форме Пеано, получим:
Вынесем первое слагаемое из-под экспоненты:
Теперь здесь применим разложение в ряд Маклорена для функции :
Пренебрегая бесконечно малыми и, учитывая, что , получаем:
Последнее, согласно признаку сравнения, означает, что рассматриваемый ряд сходится и расходится одновременно с рядом (ряд Дирихле), который сходится при и расходится при .
2. Пусть для ряда выполняется условие:
Преобразуем это неравенство к виду:
- .
Дважды применив разложение в ряд Маклорена с остаточным членом в форме Пеано, получим:
То есть согласно признаку сравнения, рассматриваемый ряд расходится, поскольку расходится ряд (гармонический ряд).
Формулировка в предельной форме
Если существует предел:
то при ряд сходится, а при — расходится.
Обобщение
Пусть на заданы три положительно определённые функции: , причём и являются неограниченно возрастающими, и для них выполняются условия:
- .
Тогда, если для ряда , при выполняется неравенство:
- , то ряд сходится.
Если же для ряда , при выполняется неравенство:
- , то ряд расходится.
Примечания
- ↑ chisl
- ↑ А. В. Антонова Дополнение к признаку Жамэ
Литература
- Б. П. Демидович Сборник задач и упражнений по математическому анализу
Признаки сходимости рядов Для знакоположительных
рядовНеобходимое условие · Основной критерий · Признак сравнения · Признак Куммера · Признак Гаусса · Радикальный признак Коши · Интегральный признак · Признак Д’Аламбера · Степенной признак · Логарифмический признак · Признак Раабе · Признак Бертрана · Признак Жамэ · Признак Ермакова · Признак Лобачевского · Признак Реткеса (англ.) · Телескопический признак Для знакочередующихся
рядовПризнак Лейбница Для рядов вида Признак Абеля · Признак Дедекинда · Признак Дюбуа-Реймона · Признак Дирихле Для функциональных рядов Признак Вейерштрасса Для рядов Фурье Признак Дини · Признак Валле-Пуссена · Признак Жордана · Признак Юнга · Признак Салема · Признак Лебега · Признак Лебега–Гергена · Признак Марцинкевича Категория:- Признаки сходимости
Wikimedia Foundation. 2010.