Теория Фредгольма

В математике, теория Фредгольма — это теория интегральных уравнений. В узком смысле, теория Фредгольма имеет отношение к решению интегрального уравнения Фредгольма. В широком смысле, абстрактная структура теории Фредгольма описывается в терминах спектральной теории операторов Фредгольма и ядер Фредгольма на гильбертовом пространстве. Данная теория названа в честь Эрика Ивара Фредгольма.

Однородные уравнения

Большая часть теории Фредгольма касается нахождения решений интегрального уравнения

$g(x)=\int_a^b K(x,y) f(y)\,dy.$

Данное уравнение естественно возникает во многих задачах физики и математики, как обращение дифференциального уравнения. То есть, ставится задача решить дифференциальное уравнение

$Lg(x)=f(x),$

где функция f задана, а g неизвестна. Здесь, L – линейный дифференциальный оператор. Например, можно взять за L эллиптический оператор, такой как

$L=\frac{d^2}{dx^2}\,$

в таком случае решаемое уравнение становится уравнением Пуассона. Общий метод решения таких уравнений состоит в том, чтобы посредством функций Грина, то есть, не действуя впрямую, попытаться решить уравнение

$LK(x,y) = \delta(x-y)$

где $\delta(x)$ – дельта-функция Дирака. Далее желаемое решение данного уравнения пишется как

$g(x)=\int K(x,y) f(y)\,dy.$

Данный интеграл написан в форме интегрального уравнения Фредгольма. Функция $K(x,y)$ известна как функция Грина, или ядро интеграла.

В общей теории, x и y могут принадлежать любому многообразию; вещественная прямая или m-мерное евклидово пространство в простейших случаях. Общая теория также часто требует, чтобы функции принадлежали к заданному функциональному пространству: часто, пространству квадратично интегрируемых функций или пространству Соболева.

Фактически используемое функциональное пространство часто определяется в решении задачи на собственные значения дифференциального оператора; то есть по решениям:

$L\psi_n(x)=\omega_n \psi_n(x),$

где $\omega_n$ – собственные числа, а $\psi_n(x)$ – собственные вектора. Множество собственных векторов образует Банахово пространство, а, где существует естественное скалярное произведение, то и Гильбертово пространство, на котором применима теорема Рисса. Примерами таких пространств служат ортогональные многочлены, которые встречаются в виде решений класса обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка.

Если задать Гильбертово пространство, как это было сделано выше, то ядро может быть записано в форме

$K(x,y)=\sum_n \frac{\psi_n^*(x) \psi_n(y)} {\omega_n},$

где $\psi_n^*$ - двойственен к $\psi_n$. В данной форме, объект $K(x,y)$ часто называют оператором Фредгольма или ядром Фредгольма. То, что это то же самое ядро, следует из полноты базиса гильбертова пространства, а именно, имеем:

$\delta(x-y)=\sum_n \psi_n^*(x) \psi_n(y).$

Поскольку $\omega_n$ обычно возрастает, то результирующие собственные значения оператора $K(x,y)$ убывают к нулю.

Неоднородные уравнения

Неоднородное интегральное уравнение Фредгольма

$f(x)=- \omega \phi(x) + \int K(x,y) \phi(y)\,dy$

Может быть написано формально как

$f = (K-\omega) \phi$

Тогда формальное решение

$\phi=\frac{1}{K-\omega} f.$

Решение в этой форме известно как резольвентный формализм, где резольвента определена как оператор

$R(\omega)= \frac{1}{K-\omega I}.$

Заданному набору собственных векторов и собственных значений K можно сопоставить резольвенту конкретного вида

$R(\omega; x,y) = \sum_n \frac{\psi_n^*(y)\psi_n(x)}{\omega_n - \omega}$

с решением:

$\phi(x)=\int R(\omega; x,y) f(y)\,dy.$

Необходимое и достаточное условие существования такого решения – одна из теорем Фредгольма. Резольвента обычно раскладывается в ряд по степеням $\lambda=1/\omega$, в таком случае она известна как ряд Лиувилля-Неймана. Тогда интегральное уравнение записывается как

$g(x)= \phi(x) - \lambda \int K(x,y) \phi(y)\,dy$

А резольвента пишется в альтернативной форме:

$R(\lambda)= \frac{1}{I-\lambda K}.$

Определитель Фредгольма

Определитель Фредгольма обычно определяется как

$\det(I-\lambda K) = \exp \left[ -\sum_n \frac{\lambda^n}{n} \operatorname{Tr}\, K^n \right],$

где $\operatorname{Tr}\, K = \int K(x,x)\,dx$, $\operatorname{Tr}\, K^2 = \iint K(x,y) K(y,x) \,dx\,dy$ и т. д. Соответствующая дзета-функция:

$\zeta(s) = \frac{1}{\det(I-s K)}.$

Дзета-функцию можно рассматривать как определитель резольвенты.

Дзета-функция играет важную роль в изучении динамических систем. Отметим, что это тот же общий тип дзета-функции, что и дзета-функция Римана; тем не менее, в этом случае, соответствующее ядро не известно. Существование данного ядра известно как гипотеза Гильберта-Пойа.

Основные результаты

Классические результаты данной теории – это теоремы Фредгольма, одна из которых альтернатива Фредгольма.

Один из важных результатов общей теории это то, что указанное ядро – это компактный оператор, где пространство функций – это пространство равностепенно непрерывных функций.

Выдающимся родственным результатом является теорема об индексе, относящаяся к индексу (dim ker - dim coker) эллиптических операторов на компактных многообразиях.

История

Статья Фредгольма 1903 года в Acta mathematica – одна из важнейших вех в создании теории операторов. Давид Гильберт развил понятие Гильбертова пространства в том числе в связи с исследованием интегральных уравнений, подсказанных Фредгольмом.

Ссылки

• E.I. Fredholm, "Sur une classe d'equations fonctionnelles", Acta Mathematica , 27 (1903) pp. 365–390.
• D.E. Edmunds and W.D. Evans (1987), Spectral theory and differential operators, Oxford University Press. ISBN 0-19-853542-2.
• B.V. Khvedelidze, G.L. Litvinov (2001), "Fredholm kernel", in Hazewinkel, Michiel, Encyclopaedia of Mathematics, Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1556080104
• Bruce K. Driver, "Compact and Fredholm Operators and the Spectral Theorem", Analysis Tools with Applications, Chapter 35, pp. 579–600.
• Robert C. McOwen, "Fredholm theory of partial differential equations on complete Riemannian manifolds", Pacific J. Math. 87, no. 1 (1980), 169–185.