Формула Гаусса — Бонне

Формула Гаусса — Бонне

В дифференциальной геометрии формула Гаусса — Бонне связывает эйлерову характеристику поверхности с её гауссовой кривизной и геодезической кривизной её границы.

Пусть M — компактное двумерное ориентированное риманово многообразие с границей $\partial M$. Обозначим через K гауссову кривизну M и через k_g геодезическую кривизну $\partial M$. Тогда

$\int\limits_M K\;dA+\int\limits_{\partial M}k_g\;ds=2\pi\chi(M),$

где χ(M) — эйлерова характеристика M.

В частности, если у M нет границы, получаем

$\int\limits_M K\;dA=2\pi\chi(M)$

Если поверхность деформируется, то её эйлерова характеристика не меняется, в то время как гауссова кривизна может меняться поточечно. Тем не менее, согласно формуле Гаусса — Бонне, интеграл гауссовой кривизны остаётся тот же.

Вариации и обобщения

Эта формула допускает обобщения на старшие размерности, см. обобщённая формула Гаусса — Бонне.

См. также

• Формула Гаусса

Ссылки

• С.Е. Степанов , Теорема Гаусса—Бонне, СОЖ, 2000, No 9, с. 116–121.