Критерий Дарбу

Сумма Дарбу

Определение

Нижняя (зеленая) и верхняя (серая) суммы Дарбу на 4 отрезках разбиения

Пусть на отрезке $[a,b]$ определена вещественнозначная функция $f$. Рассмотрим разбиение

$\tau =\left\{ {{x}_{k}} \right\}_{k=0}^{n}:a={{x}_{0}}<{{x}_{1}}<\ldots <{{x}_{n-1}}<{{x}_{n}}=b$.

Введем обозначения

${{m}_{k}}=\inf \left\{ f\left( x \right):x\in \left[ {{x}_{k-1}},{{x}_{k}} \right] \right\},k=\overline{1,n}$,

${{M}_{k}}=\sup \left\{ f\left( x \right):x\in \left[ {{x}_{k-1}},{{x}_{k}} \right] \right\},k=\overline{1,n}$.

Наконец, рассмотрим суммы

$s\left( f,\tau \right)=\sum\limits_{k=1}^{n}{{{m}_{k}}\left( {{x}_{k}}-{{x}_{k-1}} \right)}$ – нижняя сумма Дарбу,

$S\left( f,\tau \right)=\sum\limits_{k=1}^{n}{{{M}_{k}}\left( {{x}_{k}}-{{x}_{k-1}} \right)}$ - верхняя сумма Дарбу.

Свойства сумм Дарбу

• Нижняя сумма Дарбу не превосходит верхней суммы Дарбу на заданном разбиении.

$\forall \tau \ s\left( f,\tau \right)\le S\left( f,\tau \right)$;

Поведение нижней (зеленая) и верхней (серая) сумм Дарбу на измельчении разбиения

• Нижняя сумма Дарбу на некотором разбиении не превосходит нижней суммы Дарбу на измельчении этого разбиения. Аналогично верхняя сумма Дарбу на некотором разбиении не меньше верхней суммы Дарбу на измельчении этого разбиения.

$\forall {{\tau }_{1}},{{\tau }_{2}}:{{\tau }_{1}}\subset {{\tau }_{2}}\ \left\{ \begin{align} & s\left( f,{{\tau }_{1}} \right)\le s\left( f,{{\tau }_{2}} \right) \\ & S\left( f,{{\tau }_{1}} \right)\ge S\left( f,{{\tau }_{2}} \right) \\ \end{align} \right.$,

${{\tau }_{1}}\subset {{\tau }_{2}}$ означает, что ${{\tau }_{2}}$ есть измельчение разбиения ${{\tau }_{1}}$;

• Каковы бы ни были два разбиения одного и того же отрезка, нижняя сумма Дарбу на одном разбиении не превосходит верхней суммы Дарбу на другом разбиении.

$\forall {{\tau }_{1}},{{\tau }_{2}}\ s\left( f,{{\tau }_{1}} \right)\le S\left( f,{{\tau }_{2}} \right)$,

Следствие: нижние суммы Дарбу ограничены сверху, а верхние - снизу.

• Пусть ${{I}^{*}}\left( f \right)$ и ${{I}_{*}}\left( f \right)$ – верхний и нижний интегралы Дарбу соответственно. Тогда

$\forall \tau \ s\left( f,\tau \right)\le {{I}_{*}}\left( f \right)\le {{I}^{*}}\left( f \right)\le S\left( f,\tau \right)$;

• Пусть $\sigma(f, \tau, \zeta)$ — интегральная сумма. Тогда $\forall \tau$

$s(f, \tau) = \inf_{\zeta} \sigma(f, \tau, \zeta)$,

$S(f, \tau) = \sup_{\zeta} \sigma(f, \tau, \zeta)$.

Интеграл Дарбу

Верхним интегралом Дарбу называют число

${{I}^{*}}\left( f \right)=\inf \left\{ S\left( f,\tau \right):\tau \right\}$,

где $\tau$ — некоторое разбиение множества, а $S\left( f,\tau \right)$ — его верхняя сумма Дарбу.

Соответственно нижним интегралом Дарбу называют:

${{I}_{*}}\left( f \right)=\sup \left\{ s\left( f,\tau \right):\tau \right\}$,

где $s\left( f,\tau \right)$ — нижняя сумма Дарбу.

Критерий Дарбу интегрируемости функции

Приведенные утверждения даны для функции одной переменной.

Пусть вещественнозначная функция $f\left( x \right)$ определена и ограничена на отрезке $\left[ a,b \right]$. Пусть ${{I}^{*}}\left( f \right)$ и ${{I}_{*}}\left( f \right)$ - верхний и нижний интегралы Дарбу функции $f\left( x \right)$ на заданном отрезке соответственно. Тогда следующие 3 условия эквивалентны:

• $f\left( x \right)$ интегрируема по Риману на отрезке $\left[ a,b \right]$,
• ${{I}^{*}}\left( f \right)={{I}_{*}}\left( f \right)=\int\limits_{a}^{b}{f\left( x \right)dx}$,
• ${{\forall }_{\varepsilon >0}}\ {{\exists }_{\delta \left( \varepsilon \right)}}:\ {{\forall }_{\tau :\Delta \tau <\delta \left( \varepsilon \right)}}\ S\left( f,\tau \right)-s\left( f,\tau \right)<\varepsilon$, где $\tau$ и $\Delta \tau$ — некоторое разбиение и его мелкость.

Обобщения

Этот раздел статьи ещё не написан. Согласно замыслу одного из участников Википедии, на этом месте должен располагаться специальный раздел. Вы можете помочь проекту, написав этот раздел.

Литература

• Ильин, В. А., Позняк, Э. Г. Глава 10. Определенный интеграл // Основы математического анализа. — 4. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002. — Т. 1. — 648 с. — (Курс высшей математики и математической физики). — 5000 экз. — ISBN 5-9221-0131-5
• Кудрявцев, Л. Д. Глава 3. Интегральное исчисление функций одной переменной // Курс математического анализа. — М.: Высшая школа, 1981. — Т. 1.