Число Смита

Число Смита — такое составное число, сумма цифр которого (в данной системе счисления) равняется сумме цифр всех его простых сомножителей. Так, примером числа Смита может служить 202, поскольку 2 + 0 + 2 = 4, и 2 + 1 + 0 + 1 = 4 (202 = 2 * 101).

Понятие чисел Смита было введено Альбертом Вилански из Университета Лехай в 1982. Просматривая свою телефонную книжку, математик обратил внимание на то, что телефонный номер его зятя Гарольда Смита (493-7775) обладал тем интересным свойством, что сумма его цифр равнялась сумме цифр всех его простых сомножителей. Число 4 937 775 раскладывается на простые сомножители следующим образом: 4 937 775 = 3 * 5 * 5 * 65 837. Сумма цифр телефонного номера равна 4 + 9 + 3 + 7 + 7 + 7 + 5 = 42, и сумма цифр его разложения на простые сомножители также равна 3 + 5 + 5 + 6 + 5 + 8 + 3 + 7 = 42. Вилански назвал такой тип чисел по имени своего зятя. Так как этим свойством обладают все простые числа, Вилански не включил их в определение.

В десятичной системе счисления первыми пятьюдесятью числами Смита (последовательность A006753 в OEIS) являются:

4, 22, 27, 58, 85, 94, 121, 166, 202, 265, 274, 319, 346, 355, 378, 382, 391, 438, 454, 483, 517, 526, 535, 562, 576, 588, 627, 634, 636, 645, 648, 654, 663, 666, 690, 706, 728, 729, 762, 778, 825, 852, 861, 895, 913, 915, 922, 958, 985, 1086

В 1987 американский математик У. Л. МакДэниел доказал, что существует бесконечно много чисел Смита. Насчитывается 29 928 чисел Смита в пределах до 1 000 000. Практическое исследование показало, что плотность чисел Смита в натуральном ряду падает до 2,41 % к 10¹⁰.

Существует бесконечное количество чисел Смита, десятичная запись которых представляет собой палиндром (читается одинаково в обе стороны).

Несколько чисел Смита, следующих подряд (например, 728 и 729, 2964 и 2965) называются близнецами Смита. В настоящее время точное число близнецов Смита неизвестно. Наименьшими числами, образующими тройню, являются (73 615, 73 616, 73 617), четвёрку (4 463 535, 4 463 536, 4 463 537, 4 463 538), пятёрку (15 966 114, …), а шестёрку (2 050 918 644, …).

Числа Смита могут быть получены из разложения репьюнитов. Наибольшим известным числом Смита (по данным на 2005) является число

9xR₁₀₃₁x(10⁴⁵⁹⁴+3x10²²⁹⁷+1)¹⁴⁷⁶x10^3913210,

где R₁₀₃₁ = 2¹⁰³²-1.

Внешние ссылки

• Weisstein, Eric W. Smith Number на сайте Wolfram MathWorld.(англ.)
• Fascinating Smith numbers.
• Н. Карпушина. Замечательные «смиты». // Наука и жизнь, № 3, 2009.