- Корни из единицы
-
Корни n-й степени из единицы — комплексные корни многочлена . Другими словами, это комплексные числа, -я степень которых равна 1.
Содержание
Представление
Представим комплексную единицу в тригонометрическом виде:
Тогда по формуле Муавра, получим:
Здесь — корни из единицы.
Корни из единицы могут также быть представлены в показательной форме:
Из этих формул вытекает, что корней из единицы всегда ровно , и все они различны.
Свойства
Геометрические свойства
- Модуль каждого корня равен 1. На комплексной плоскости корни из единицы образуют вершины правильного многоугольника, вписанного в единичную окружность. Одной из вершин всегда является комплексная единица.
- Если — корень из единицы, то сопряжённое к нему число — тоже корень из единицы.
- Пусть M — произвольная точка единичной окружности. Тогда сумма квадратов расстояний от M до всех корней из единицы равна 2n.
Алгебраические свойства
- Корни из единицы представляют собой целые алгебраические числа.
- Корни из единицы образуют по умножению группу. Обратный элемент для каждого элемента этой группы совпадает с сопряжённым ему. В частности, любая целая степень корня из единицы тоже является корнем из единицы.
- Группа корней из единицы изоморфна аддитивной группе классов вычетов . Отсюда следует, что она является циклической группой; в качестве порождающего (первообразного) можно взять любой элемент , индекс которого взаимно прост с .
- Следствия:
- элемент всегда является первообразным;
- если — простое число, то степени любого корня, кроме , охватывают всю группу;
- число первообразных корней равно , где — функция Эйлера.
- Следствия:
- Если , то для суммы степеней любого первообразного корня из единицы имеет место формула:
Примеры
Кубические корни из единицы:
Корни 4-й степени из единицы:
Для корня 5-й степени имеются 4 порождающих элемента:
Для корня 6-й степени порождающих элементов только два:
Круговые поля
Круговое поле, или поле деления круга степени n (англ. Cyclotomic field) — это поле , порождённое присоединением к полю рациональных чисел первообразного корня n-й степени из единицы . Круговое поле является подполем поля комплексных чисел; оно содержит все корни n-й степени из единицы, а также результаты арифметических действий над ними.
Исследование круговых полей сыграло значительную роль в создании и развитии теории целых алгебраических чисел, теории чисел и теории Галуа.
Пример: состоит из комплексных чисел вида , где — рациональные числа.
Теорема Кронекера-Вебера: всякое абелево конечное расширение поля рациональных чисел содержится в некотором круговом поле.
См. также
Литература
- Ван дер Варден Б. Л. Алгебра. М.: Мир, 1975.
- Комплексные корни n-й степени из единицы.
- Milne, James S. Algebraic Number Theory. Course Notes (1998). Архивировано из первоисточника 2 апреля 2012.
Категории:- Алгебраические числа
- Многочлены
Wikimedia Foundation. 2010.