ГАЛУА ПОЛЕ это:

ГАЛУА ПОЛЕ

конечное поле,- поле, число элементов к-рого конечно. Г. п. впервые рассматривалось Э. Галуа (Е. Galois, см. [1], с. 35 - 47).

Число элементов любого Г. п. есть степень нек-рого натурального простого числа , являющегося характеристикой этого поля. Для любого натурального простого р и любого натурального псуществует (и единственно, с точностью до изоморфизма) поле из элементов. Оно обозначается или . Поле содержит в качестве подполя поле в том и только в том случае, когда тделится на п. В частности, в любом поле содержится поле , наз. простым полем характеристики р. Поле изоморфно полю классов вычетов кольца целых чисел по простому модулю р. В любом фиксированном алгебраическом замыкании поля существует точно одно подполе для каждого п. Соответствие является изоморфизмом между решеткой натуральных чисел относительно делимости и решеткой конечных алгебраич. расширений поля , лежащих в , относительно включения. Такова же решетка множества конечных алгебраич. расширений любого Г. п., лежащих в его фиксированном алгебраич. замыкании.

Алгебраич. расширение является простым, т. е. существует примитивный элемент такой, что Таким будет любой корень каждого неприводимого многочлена степени пиз кольца . Число примитивных элементов расширения равно


где - Мёбиуса функция. Аддитивная группа поля естественным образом наделяется структурой n-мерного векторного пространства над . В качестве базиса можно взять . Ненулевые элементы поля образуют мультипликативную группу порядка , т. е. каждый элемент из является корнем многочлена

Группа циклическая, ее образующие - первообразные корни из единицы степени число К-рых равно где - Эйлера функция. Каждый первообразный корень из единицы степени является примитивным элементом расширения но не наоборот. Точнее, среди


неприводимых унитарных многочленов степени пнад имеется таких, корни к-рых будут образующими для .

Множество элементов поля в точности совпадает с множеством корней многочлена в , т. е. характеризуется как подполе элементов из , инвариантных относительно автоморфизма , наз. автоморфизмом Фробениуса. Если то расширение нормально (см. Расширение поля), его Галуа группа циклическая порядка ml п. В качестве образующей группы может быть взят автоморфизм т.

Лит.:[1] Галуа Э., Сочинения, пер. с франц., М.-Л., 1936: [2] Ван дер Варден Б. Л., Алгебра, пер. с нем., М., 1976, с. 158-62; [3] Чеботарев Н. Г., основы теории Галуа, М.-Л., 1934, ч. 1, с. 154-62; [4] Бурбаки Н., Алгебра. Многочлены и поля. Упорядоченные группы, пер. с франц., М., 1965, с. 185-203. А. И. Скопин


Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. . 1977—1985.

Смотреть что такое "ГАЛУА ПОЛЕ" в других словарях:

  • поле Галуа — Поле с конечным числом элементов. Размер конечного поля должен выражаться простым числом (иметь мощность простого числа). [http://www.morepc.ru/dict/] Тематики информационные технологии в целом EN Galois FieldGF …   Справочник технического переводчика

  • ПОЛЕ — коммутативно ассоциативное кольцо с единицей, множество ненулевых элементов к рого не пусто и образует группу относительно умножения. П. можно охарактеризовать также как простые ненулевые коммутативно ассоциативные кольца с единицей. Примеры… …   Математическая энциклопедия

  • Поле Галуа — Конечное поле или поле Галуа поле, состоящее из конечного числа элементов. Конечное поле обычно обозначается или GF(q), где q число элементов поля. Простейшим примером конечного поля является кольцо вычетов по модулю простого числа. Содержание …   Википедия

  • Поле (алгебра) — У этого термина существуют и другие значения, см. Поле. Полем называется множество F с двумя бинарными операциями (аддитивная операция, или сложение) и (мультипликативная операция, или умножение), если оно (вместе с этими операциями) образует… …   Википедия

  • Галуа — Галуа, Эварист Портрет Эвариста Галуа. Сделан с натуры, когда ему было пятнадцать лет, нарисован карандашом Эварист Галуа (фр. Évariste Galois; 26 октября 1811, Бур ля Рен, О де Сен, Франция  31 мая …   Википедия

  • Галуа Эварист — (Galois) (1811 1832), французский математик. Труды по теории алгебраических уравнений положили начало развитию современной алгебры. С идеями Галуа связаны такие её важнейшие понятия, как группа, поле и др. Научное наследие Галуа  небольшое число… …   Энциклопедический словарь

  • Поле (алгебраич.) — Поле алгебраическое, важное алгебраическое понятие, часто используемое как в самой алгебре, так и в др. отделах математики и являющееся предметом самостоятельного изучения. Над обычными числами можно производить четыре арифметических действия… …   Большая советская энциклопедия

  • ГАЛУА (Galois) Эварист — (1811 32) французский математик. Труды по теории алгебраических уравнений положили начало развитию современной алгебры. С идеями Галуа связаны такие ее важнейшие понятия, как группа, поле и др. Научное наследие Галуа небольшое число весьма кратко …   Большой Энциклопедический словарь

  • Галуа, Эварист — ГАЛУА (Galois) Эварист (1811 32), французский математик. Труды по теории алгебраических уравнений положили начало развитию современной алгебры. С идеями Галуа связаны такие ее важнейшие понятия, как группа, поле. Научное наследие Галуа небольшое… …   Иллюстрированный энциклопедический словарь

  • ГАЛУА ТЕОРИЯ — в наиболее общем смысле теория, изучающая те или иные математич. объекты на основе их групп автоморфизмов. Так, напр., возможны Г. т. полей, колец, топологич. пространств и т. п. В более узком смысле под Г. т. понимается Г. т. полей. Возникла эта …   Математическая энциклопедия

Книги

  • Сочинения. 1936, Галуа Э.. Эта книга будет изготовлена в соответствии с Вашим заказом по технологии Print-on-Demand. Книга представляет собой собрание переведенных с французского работ известногоматематика Э. Галуа.-За… Подробнее  Купить за 1378 руб
  • Эварист Галуа. Избранник богов, Инфельд Л.. Книга Леопольда Иифельда рассказывает удивительную историю Эвариста Галуа, который в возрасте двадцати лет отдал жизнь за Французскую республику. В ночь наканунегибели он написал несколько… Подробнее  Купить за 368 руб


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»