Аппроксимации эллиптических интегралов

Эллиптические интегралы не выражаются через элементарные функции. По определению, элементарные функции ^[1] — функции, определяемые формулами, содержащими конечное число алгебраических или тригонометрических операций, производимых над аргументом, функцией и некоторыми постоянными.

Эллиптические интегралы в лежандровой форме 1-го, 2-го и 3-го родов ^[1], а также интегралы, сходные с ними (с заменой знаков плюс на минус и/или с заменой cos на sin или наоборот) точно представимы функциональным рядом. Такое представление не является элементарной функцией ввиду бесконечного числа членов этого ряда.

Руководствуясь соображениями достижения необходимой точности и, взяв в расчёт n начальных членов ряда и пренебрегая остатком, то есть суммой остальных членов ряда от n+1 до $\infty$, получим аппроксимацию (определённого или неопределённого) эллиптического интеграла в виде элементарной функции. Аппроксимации эллиптических интегралов применяются аналогично обычным интегралам.

Определённый интеграл 1-го рода можно представить в виде:

$\int_{\varphi_1} ^ {\varphi_2} \frac{d\varphi}{\sqrt{1-k^2sin^2\varphi}}=\sqrt{1+E}(\varphi-\frac{Esin2\varphi}{4}+...)\mid_{\varphi_1}^{\varphi_2};~~~ ($

$\varepsilon\approx 4.2\cdot10^{-6};~~ k_{\varepsilon}(2)\approx 330).$

Определённый интеграл 2-го рода представим в виде:

$\int_{\varphi_1} ^ {\varphi_2}{\sqrt{1-k^2sin^2\varphi}}=\frac{1}{\sqrt{1+E}}(\varphi+\frac{Esin2\varphi}{4}+...)\mid_{\varphi_1}^{\varphi_2};~~~ ($

$\varepsilon\approx 1.4\cdot10^{-6};~~ k_{\varepsilon}(2)\approx 500).$

Длина дуги эллипса с единичной большой полуосью:

$\int_{\varphi_1} ^ {\varphi_2}{\sqrt{1-k^2cos^2\varphi}}=\frac{1}{\sqrt{1+E}}(\varphi-\frac{Esin2\varphi}{4}+...)\mid_{\varphi_1}^{\varphi_2};~~~ ($

$\varepsilon\approx 1.4\cdot10^{-6};~~ k_{\varepsilon}(2)\approx 500).$

Определённый интеграл 3-го рода можно записать в виде:

$\int_{\varphi_1} ^ {\varphi_2} \frac{d\varphi}{(1+h\cdot sin^2\varphi)\sqrt{1-k^2sin^2\varphi}}=$

$=\frac{\sqrt{1+E}}{2+h}\cdot [\frac{2+h}{\sqrt{1+h}}arctg(\sqrt{1+h}\cdot tg\varphi)(1-\frac{E}{2N}+...)+\varphi\cdot(\frac{E}{N}+...)+...]\mid_{\varphi_1}^{\varphi_2};$

$(\varepsilon\approx 4.2\cdot10^{-6};~~ k_{\varepsilon}(3)\approx 330).$

Пример

Для вычисления длины дуги геодезической линии на поверхности земного сфероида^[2], требуется вычисление определённого интеграла вида:

$\int_{\varphi_1} ^ {\varphi_2} \frac{d\varphi}{(1+h\cdot cos^2\varphi)\sqrt{1-k^2sin^2\varphi}}=$

$=\frac{\sqrt{1+E}}{2+h}\cdot [\frac{2+h} {\sqrt{1+h}}arctg(\frac{tg\varphi}{\sqrt{1+h}})(1+\frac{E}{2N}+...)- \varphi \cdot (\frac{E}{N}+...)+...]\mid_{\varphi_1}^{\varphi_2};$

$(\varepsilon\approx 4.2\cdot10^{-6};~~ k_{\varepsilon}(3)\approx 330).$

Обозначения в формулах:

$E=\frac{k^2}{2-k^2};~~~N=\frac{h}{2+h};$

$\varepsilon_0=abs(\frac{F(\varphi)\mid_{\varphi_1}^{\varphi_2} -\int_{\varphi_1} ^ {\varphi_2}f(\varphi)d\varphi}{\int_{\varphi_1} ^ {\varphi_2}f(\varphi)d\varphi})$ — расчётная относительная погрешность вычисления эллиптических интегралов по указанным формулам для эллипсов, подобных меридиональному земному ($k^2=0,006693$ и $h=0,006674$).

$\varepsilon=\varepsilon_{0max}$ — максимальная расчётная относительная погрешность соответствующей формулы в диапазоне углов

$\Delta~\varphi=\varphi_2 - \varphi_1 < \frac{\pi}{2}.$

$k_\varepsilon(m)$ — число, указывающее, во сколько раз уменьшится максимальная расчётная относительная погрешность соответствующей формулы, если добавить $m$ неуказанных членов в её формулу разложения.

См. также

• Численное интегрирование

Примечания

1. ↑ ^{1 2} 1.Бронштейн И. Н., Семендяев К. А. Справочник по математике. — М.: Наука, 1964.
2. ↑ 2. Мацевич М. И. Навигационные расчёты геодезических маршрутов. — М.: Информационный фонд ФГУП «ВНТИЦ», № 72200700019, 2007.