- Число Штифеля—Уитни
-
Класс Штифеля — Уитни — определённый характеристический класс, соответствующий вещественному векторному расслоению . Обычно обозначается через w(E). Принимает значения в , кольце когомологий с коэффициентами в .
Компонента w(E) в i-ых когомологиях обозначается wi(E) и называется i-ым классом Штифеля — Уитни расслоения E, так что
Классы wi(E) являются препятствиями в к построению (n − i + 1)-го линейно независимого сечения E, ограниченного на i-ый остов X.
Содержание
Аксиоматическое определение
Здесь и далее, обозначает сингулярные когомологии пространства X с коэффициентами в группе G.
Класс Штифеля — Уитни определяется как отображение, сопоставляющее расслоению E элемент кольца гомологий w(E) так, что выполняются следующие аксиомы:
- Естественность: w(f * E) = f * w(E) для любого расслоения и отображения , где f * E обозначает соответствующее индуцированное расслоение над X'.
- w0(E) = 1 в .
- w1(γ1) является образующей (условие нормализации). Здесь γ1 — это тавтологическое расслоение.
- (формула произведения Уитни).
Можно показать, что удовлетворяющие этим аксиомам классы действительно существуют и единственны (по крайней мере, для паракомпактного пространства X)[1]
Исходное построение
Классы Штифеля — Уитни wi(E) были открыты Штифелем и Уитни как приведение по модулю 2 классов, измеряющих препятствия к построению (n − i + 1)-го линейно независимого сечения E, ограниченного на i-ый остов X. (Здесь n — размерность слоя F расслоения E).
Более точно, если X является CW-комплексом, Уитни определил классы Wi(E) в i-й группе клеточных когомологий X с нестандартными коэффициентами.
А именно, в качестве коэффициентов берётся (i − 1)-я гомотопическая группа многообразия Штифеля Vn − i + 1(F) наборов из n − i + 1 линейно независимого вектора в слое F. Уитни доказал, что для построенных им классов Wi(E) = 0 тогда и только тогда, когда расслоение E, ограниченное на i-скелет X, имеет n − i + 1 линейно независимое сечение.
Поскольку гомотопическая группа πi − 1Vn − i + 1(F) многообразия Штифеля всегда или бесконечная циклическая, или изоморфна , существует каноническая редукция классов Wi(E) к классам , которые и называются классами Штифеля — Уитни.
В частности, если , то эти классы просто совпадают.
Связанные определения
- Если мы работаем на многообразии размерности n, то любое произведение классов Штифеля — Уитни общей степени n может быть спарено с -фундаментальным классом этого многообразия, давая в результате элемент ; такие числа называют числами Штифеля — Уитни векторного расслоения. К примеру, для расслоения на трёхмерном многообразии есть три линейно независимых числа Штифеля — Уитни, соответствующие , w1w2 и w3. В общем случае, если многообразие n-мерно, различные числа Штифеля — Уитни соответствуют разбиениям n в сумму целых слагаемых.
- Числа Штифеля — Уитни касательного расслоения к гладкому многообразию называются числами Штифеля — Уитни этого многообразия. Они являются инвариантами кобордизма.
- Естественному отображению приведения по модулю два, , соответствует гомоморфизм Бокштейна
- Образ класса wi под его действием, , называется (i + 1)-ым целым классом Штифеля — Уитни.
- В частности, третий целый класс Штифеля — Уитни является препятствием к построению SpinC-структуры.
Свойства
- Если расслоение Ek имеет сечений, линейно независимых над каждой точкой, то .
- wi(E) = 0 при i > rank(E).
- Первый класс Штифеля — Уитни обращается в ноль тогда и только тогда, когда расслоение ориентируемо. В частности, многообразие M ориентируемо тогда и только тогда, когда w1(TM) = 0.
- Расслоение допускает спинорную структуру, тогда и только тогда, когда первый и второй классы Штифеля — Уитни оба обращаются в ноль.
- Для ориентируемого расслоения, второй класс Штифеля — Уитни лежит в образе естественного отображения (или, что то же самое, так называемый третий целый класс Штифеля — Уитни обращается в ноль) тогда и только тогда, когда расслоение допускает SpinC-структуру.
- Все числа Штифеля — Уитни гладкого компактного многообразия X обращаются в ноль тогда и только тогда, когда это многообразие является границей (без учёта ориентации) гладкого компактного многообразия.
Литература
- Прасолов В. В. Элементы теории гомологий.
- Husemoller D. Fibre Bundles. — Springer-Verlag, 1994.
- Милнор Дж., Сташев Дж. Характеристические классы. — М.: Мир, 1979. — 371 с.
Примечания
- ↑ см. разделы 3.5 и 3.6 книги Хюсмоллера или раздел 8 в Милноре — Сташеве.
Wikimedia Foundation. 2010.