Цилиндрические координаты

Точка в цилиндрических координатах

Цилиндрической системой координат называют трёхмерную систему координат, являющуюся расширением полярной системы координат путём добавления третьей координаты (обычно обозначаемой z), которая задаёт высоту точки над плоскостью.

Точка P даётся как $(\rho, \varphi, z)$. В терминах прямоугольной системы координат:

• $\rho \ge 0$ — расстояние от O до P', ортогональной проекции точки P на плоскость XY. Или то же самое, что расстояние от P до оси Z.
• $0 \le \varphi \le 360^\circ$ — угол между осью X и отрезком OP'.
• z равна аппликате точки P.

При использовании в физических науках и технике международный стандарт ISO 31-11 рекомендует использовать обозначения $(\rho, \varphi, z)$.

Некоторые математики используют (r,θ,z).

Цилиндрические координаты удобны при анализе поверхностей, симметричных относительно какой-либо оси, если ось Z взять в качестве оси симметрии. Например, бесконечно длинный круглый цилиндр в прямоугольных координатах имеет уравнение x² + y² = c², а в цилиндрических — очень простое уравнение ρ = c. Отсюда и идёт для данной системы координат имя «цилиндрическая».

Переход к другим системам координат

2 точки в цилиндрических координатах

Поскольку цилиндрическая система координат — только одна из многих трёхмерных систем координат, существуют законы преобразования координат между цилиндрической системой координат и другими системами.

Декартова система координат

Основная статья: Прямоугольная система координат

Закон преобразования координат от цилиндрических к декартовым:

$x = \rho \cos\varphi,$

$y = \rho \sin\varphi,$

$z = z\ .$

Закон преобразования координат от декартовых к цилиндрическим:

$\rho = \sqrt{x^2 + y^2},$

$\varphi = \operatorname{arctg}\left(\frac{y}{x}\right),$

$z = z\ .$

Якобиан равен:

J = ρ

Дифференциальные характеристики

Цилиндрические координаты являются ортогональными, поэтому метрический тензор имеет в них диагональный вид:

$g_{ij}= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & \rho^2 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} ~~ g^{ij}= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1/\rho^2 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

• Квадрат дифференциала длины кривой

$ds^2 = d\rho^2 + \rho^2 d\varphi^2 + dz^2$

• Коэффициенты Ламэ имеют вид:

$H_\rho = 1, ~~ H_\phi = \rho, ~~ H_z = 1$

• Символы Кристоффеля: $\left\{r, \phi, z\right\}$: $\Gamma^1_{22}=-r$, $~\Gamma^2_{21}=\Gamma^2_{12}=\frac{1}{r}$. Остальные равны нулю.