Простая функция

Проста́я фу́нкция в математике — это измеримая функция, заданная на некотором измеримом пространстве и принимающая конечное число значений.

Определение

Пусть $(X,\mathcal{F})$ — измеримое пространство. Пусть $A_1,\ldots,A_n \in \mathcal{F}$, где $n \in \mathbb{N}$ — конечная последовательность измеримых множеств. Тогда измеримая функция $f:X\to \mathbb{R}(\mathbb{C})$ называется простой, если она имеет вид:

$f(x)=\sum_{i=1}^n a_i {\mathbf 1}_{A_i}(x), x\in X$,

где $a_i\in \mathbb{R} (\mathbb{C}), \mathbf{1}_{A_i}$ — индикатор множества $A_i, i = 1,\ldots,n$.

Замечания

• Если $(X,\mathcal{F}) \equiv (\Omega,\mathcal{F})$ — вероятностное пространство, то простая функция называется просто́й случа́йной величино́й.
• Если $(X,\mathcal{F},\mu)$ — пространство с мерой, $f:X\to \mathbb{R}$ простая, причём

$f(x)=\sum_{i=1}^n a_i {\mathbf 1}_{A_i}(x), x\in X$,

и $\mu(A_i) < \infty, \forall i = 1,\ldots,n$, то $f$ интегрируема по Лебегу, и

$\int\limits_X f\, d\mu = \sum\limits_{i=1}^n a_i\, \mu(A_i)$.

Пример

Пусть $(X,\mathcal{F},\mu) = (\mathbb{R},\mathcal{B}(\mathbb{R}),m)$, где $\mathcal{B}(\mathbb{R})$ — борелевская сигма-алгебра на $\mathbb{R}$, а $m$ — мера Лебега. Тогда функция

$f(x) = \left\{ \begin{matrix} 1, & x > 0\\ 0, & x = 0\\ -1, & x < 0 \end{matrix} \right., x\in \mathbb{R}$

простая, ибо измерима и принимает три разных значения.