- Уравнение Фоккера-Планка
-
Уравнение Фоккера — Планка — одно из стохастических дифференциальных уравнений, описывает временну́ю эволюцию функции плотности вероятности координат и импульса частиц в процессах, где важна стохастическая природа явления. Названо в честь нидерландского и немецкого физиков Адриана Фоккера и Макса Планка, также известно как прямое уравнение Колмогорова. Может быть обобщено на другие измеримые параметры (размер (в теории коалесценции), масса и т. д.).
Содержание
Определение
Впервые уравнение было использовано для статистического описания броуновского движения частиц в воде. Хотя броуновское движение описывается уравнениями Ланжевена, которые могут быть решены численно методом Монте-Карло или методами молекулярной динамики, задачу в такой постановке часто трудно решить. И, вместо сложных численных схем, можно ввести функцию плотности вероятности , описывающую вероятность того, что частица имеет скорость в интервале , если в момент времени 0 она имела начальную скорость , и записать для уравнения Фоккера — Планка.
Общая форма уравнения Фоккера — Планка для N переменных:
где D1 — вектор сноса и D2 — тензор диффузии, причём диффузия вызвана действием сил стохастической природы.
Связь со стохастическими дифференциальными уравнениями
Уравнение Фоккера — Планка может быть использовано для расчёта плотности вероятности в стохастических дифференциальных уравнениях. Рассмотрим следующее стохастическое дифференциальное уравнение
где — функция состояния системы, а — стандартное N-мерное броуновское движение. Если начальное распределение задано как , то плотность вероятности состояния системы является решением уравнения Фоккера — Планка со следуюшими выражениями для сноса и диффузии соответственно:
Пример
Стандартное скалярное уравнение броуновского движения генерируется следующим стохастическим дифференциальным уравнением: dXt = dBt.
Здесь скорость сноса равна нулю и коэффициент диффузии равен 1/2, следовательно, соответствующее уравнение Фоккера — Планка выглядит так:
это простейшая форма одномерного уравнения диффузии (теплопереноса).
Вывод
Первый согласованный вывод уравнения Фоккера — Планка на основе точной микроскопической динамики для классических и квантовых систем выполнен[1] Н. Н. Боголюбовым и Н. М. Крыловым[2] (переиздано в [3]).
См. также
- Цепочка уравнений Боголюбова
- Уравнение Больцмана
- Уравнение Власова
- Уравнение Колмогорова — Чепмена
- Уравнения Навье — Стокса
Источники
- Hannes Risken, «The Fokker — Planck Equation: Methods of Solutions and Applications», 2nd edition, Springer, 1984. — 452 pages. — ISBN 3-540-61530-X.
- Лифшиц, Е. М., Питаевский, Л. П. Физическая кинетика. — М.: Наука, 1979. — 528 с. — («Теоретическая физика», том X). — 50 000 экз.
- ↑ Боголюбов Н. Н. (мл.) и Санкович Д. П. (1993). «Николай Николаевич Боголюбов. Очерк научной деятельности.». Физика элементарных частиц и атомного ядра 24(5): 1224—1293.
- ↑ Боголюбов Н. Н. и Крилов Н. М. (1939). Об уравнениях Фоккера — Планка, которые выводятся в теории возмущений методом, основанным на спектральных свойствах возмущённого гамильтониана. Записки кафедры математической физики Института нелинейной механики АН УССР 4: 5—80 (укр.).
- ↑ Боголюбов Н. Н. Собрание научных трудов в 12 томах. Том 5: Неравновесная статистическая механика, 1939—1980. — М.: Наука, 2006. — ISBN 5020341428.
Wikimedia Foundation. 2010.