Уравнение Фредгольма

В математике интегральное уравнение Фредгольма — это интегральное уравнение, ядром которого является ядро Фредгольма. Названо так по имени изучавшего его Ивара Фредгольма. Со временем выросло в самостоятельный раздел функционального анализа — теорию Фредгольма, которая изучает ядра Фредгольма и операторы Фредгольма.

Общая теория

Общая теория, основанная на уравнениях Фредгольма, известна как теория Фредгольма. В теории рассматривается интегральное преобразование специального вида

$\psi(s) = \int\limits_a^b\!K(s, t) \varphi(t)\, dt$

где функция K называется ядром уравнения, а оператор A, определяемый как

$A\varphi = \int\limits_a^b\!K(s, t) \varphi(t)\, dt$, называется оператором (или интегралом) Фредгольма.

Одним из основополагающих результатов является факт, что ядро K есть компактный оператор, известный иначе как оператор Фредгольма. Компактность может быть показана с помощью равномерной непрерывности. Как к оператору, к ядру может быть приложена спектральная теория, изучающая спектр собственных значений.

Уравнение первого рода

Неоднородное уравнение Фредгольма первого рода имеет вид:

$g(t)=\int\limits_a^b\!K(t,s)f(s)\,ds$

а задача состоит в том, что при заданной непрерывной функции ядра K(t,s) и функции g(t) найти функцию f(s).

Если ядро является функцией разности своих аргументов, то есть K(t,s) = K(t − s), и пределы интегрирования $\pm \infty$, тогда правая часть уравнения может быть переписана в виде свёртки функций K и f, а, следовательно, решение даётся формулой

$f(t) = \mathcal{F}_\omega^{-1}\left[ {\mathcal{F}_t[g(t)](\omega)\over \mathcal{F}_t[K(t)](\omega)} \right]=\int\limits_{-\infty}^\infty\!{\mathcal{F}_t[g(t)](\omega)\over \mathcal{F}_t[K(t)](\omega)}e^{2\pi i \omega t}\,d\omega$

где $\mathcal{F}_t$ и $\mathcal{F}_\omega^{-1}$ — прямое и обратное преобразования Фурье соответственно.

Уравнение второго рода

Неоднородное уравнение Фредгольма второго рода выглядит так:

$f(t)= \lambda \varphi(t) - \int\limits_a^b\!K(t,s)\varphi(s)\,ds$

Задача состоит в том, чтобы имея ядро K(t,s) и функцию f(t), найти функцию $\varphi(t)$. При этом существование решения и его множественность зависит от числа λ, называемого собственным числом. Стандартный подход решения использует понятие резольвенты; записанное в виде ряда решение известно как ряд Лиувилля-Неймана.

$\varphi(s) = \int\limits_a^b\! K(s, t) \varphi(t)\,dt + f(s)$.

Ссылки

• Интегральные уравнения: Точные решения — из EqWorld: Мир математических уравнений.

• Интегральные уравнения: Методы решения — из EqWorld: Мир математических уравнений.

Рекомендуемая литература

А. Д. Полянин, А. В. Манжиров. Справочник по интегральным уравнениям. Москва, Физматлит, 2003.