- Собственные векторы, значения и пространства
-
Содержание
Определения собственного числа, собственного и корневого векторов линейного оператора
Пусть — линейное пространство над полем , — линейное преобразование.
Собственным вектором линейного преобразования называется такой ненулевой вектор , что для некоторого
Собственным значением линейного преобразования называется такое число , для которого существует собственный вектор, то есть уравнение имеет ненулевое решение .
Упрощённо говоря, собственный вектор — любой ненулевой вектор x, который отображается оператором в коллинеарный , а соответствующий скаляр называется собственным значением оператора.
Собственным подпространством линейного преобразования для данного собственного числа (или отвечающим этому числу) называется множество всех собственных векторов , соответствующих данному собственному числу (дополненное нулевым вектором). Обозначим его . По определению,
где — единичный оператор.
Корневым вектором линейного преобразования для данного собственного значения называется такой ненулевой вектор , что для некоторого натурального числа
Если является наименьшим из таких натуральных чисел (то есть ), то называется высотой корневого вектора .
Корневым подпространством линейного преобразования для данного собственного числа называется множество всех корневых векторов , соответствующих данному собственному числу (дополненное нулевым вектором). Обозначим его . По определению,
где
Свойства собственных значений, собственных и корневых векторов и пространств
Общий случай
Подпространство называется инвариантным подпространством линейного преобразования (-инвариантным подпространством), если
- .
- Собственные подпространства , корневые подпространства и подпространства линейного оператора являются -инвариантными.
- Собственные векторы являются корневыми (высоты 1): ;
- Корневые векторы могут не быть собственными: например, для преобразования двумерного пространства, заданного матрицей
- , и все векторы являются корневыми, соответствующими собственному числу 1, но имеет единственный собственный вектор (с точностью до умножения на число).
- Для разных собственных значений корневые (и, следовательно, собственные) подпространства имеют тривиальное (нулевое) пересечение:
- если .
- Метод поиска собственных значений для самосопряженных операторов, и поиска сингулярных чисел для нормального оператора дает теорема Куранта-Фишера.
Конечномерные линейные пространства
Выбрав базис в -мерном линейном пространстве , можно сопоставить линейному преобразованию квадратную матрицу и определить для неё характеристический многочлен матрицы
- .
- Характеристический многочлен не зависит от базиса в . Его коэффициенты являются инвариантами оператора . В частности, , не зависят от выбора базиса.
- Собственные значения, и только они, являются корнями характеристического многочлена матрицы.
- Количество различных собственных значений не может превышать размер матрицы.
- Если выбрать в качестве базисных векторов собственные вектора оператора, то матрица в таком базисе станет диагональной, причём на диагонали будут стоять собственные значения оператора. Отметим, однако, что далеко не любая матрица допускает базис из собственных векторов (общая структура описывается нормальной жордановой формой).
- Для положительно определённой симметричной матрицы процедура нахождения собственных значений и собственных векторов является ни чем иным как поиском направлений и длин полуосей соответствующего эллипса.
Пусть числовое поле алгебраически замкнуто (например, является полем комплексных чисел). Тогда характеристический многочлен разлагается в произведение линейных множителей
- где — собственные значения; некоторые из могут быть равны. Кратность собственного значения — это число множителей равных в разложении характеристического многочлена на линейные множители (называется также алгебраическая кратность собственного значения).
- Размерность корневого пространства равна кратности собственного значения.
- Векторное пространство разлагается в прямую сумму корневых подпространств (по теореме о жордановой форме):
- где суммирование производится по всем — собственным числам .
- Геометрическая кратность собственного значения — это размерность соответствующего собственного подпространства ; геометрическая кратность собственного значения не превосходит его кратности, поскольку
Гильбертовы пространства над полем комплексных чисел и нормальные операторы
Наличие скалярного произведения позволяет выделить важные классы операторов, собственные значения и собственные векторы которых обладают рядом дополнительных полезных свойств.
Нормальным оператором называется оператор , коммутирующий со своим сопряжённым :
- .
Частными классами нормальных операторов являются самосопряжённые (эрмитовы) операторы (), антиэрмитовы операторы () и унитарные операторы (), а также их вещественные варианты: симметричные операторы, антисимметричные операторы и ортогональные преобразования.
- Все корневые векторы нормального оператора являются собственными.
- Собственные векторы нормального оператора , соответствующие различным собственным значениям, ортогональны. То есть если , и , то . (Для произвольного оператора это неверно.)
- Все собственные значения самосопряжённого оператора являются вещественными.
- Все собственные значения антиэрмитового оператора являются мнимыми.
- Все собственные значения унитарного оператора лежат на единичной окружности .
- В конечномерном случае, сумма размерностей собственных подпространств нормального оператора , соответствующих всем собственным значениям, равна размерности матрицы, а векторное пространство разлагается в ортогональную сумму собственных подпространств:
- где суммирование производится по всем — собственным числам , а взаимно ортогональны для различных .
- Последнее свойство для нормального оператора над является характеристическим: оператор нормален тогда и только тогда, когда его матрица имеет диагональный вид в каком-нибудь ортонормированном базисе (в конечномерном случае).
Положительные матрицы
Квадратная вещественная матрица называется положительной, если все её элементы положительны: .
Теорема Перрона (частный случай теоремы Перрона-Фробениуса): Положительная квадратная матрица имеет положительное собственное значение , которое имеет алгебраическую кратность 1 и строго превосходит абсолютную величину любого другого собственного значения этой матрицы. Собственному значению соответствует собственный вектор , все координаты которого строго положительны. Вектор — единственный собственный вектор (с точностью до умножения на число), имеющий неотрицательные координаты.
Собственный вектор может быть вычислен посредством прямых итераций: выберем произвольный начальный вектор с положительными координатами. Положим:
Последовательность сходится к нормированному собственному вектору .
Другая область применения метода прямых итераций — поиск собственных векторов положительно определённых симметричных операторов.
Литература
- Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. — М.: Наука, 1966. — 576 с.
- Уилкинсон Д. Х. Алгебраическая проблема собственных значений. — М.: Наука, 1970. — 564 с.
- Гельфанд И. М. Лекции по линейной алгебре М.: Наука, 1971.
- Фаддеев Д. К. Лекции по алгебре. М.: Наука, 1984.
- Шафаревич И. Р., Ремизов А. О. Линейная алгебра и геометрия, — Физматлит, Москва, 2009.
Категории:- Функциональный анализ
- Линейная алгебра
- Матрицы
Wikimedia Foundation. 2010.